4、蒙特卡罗方法：从基础到复杂几何形状面积估计

蒙特卡罗方法：从基础到复杂几何形状面积估计

1. 引言

蒙特卡罗方法是一种通过随机抽样来解决问题的统计方法。在很多领域，如物理、工程、金融等，都有广泛的应用。本文将深入探讨蒙特卡罗方法在几何形状面积和体积估计中的应用，包括估计圆周率、高维球体体积，以及复杂的五角星面积。

2. 寻找感兴趣区域内的点

在某些情况下，我们需要找出满足特定条件的点。例如，给定一组二维向量 vecs ，我们要找出 x 和 y 坐标都小于 0.5 的点。代码如下：

xless = vecs[:,0] < 0.5
yless = vecs[:,1] < 0.5
both = xless * yless
print( both[:5] )
print( both.sum() )

这里， xless 和 yless 是布尔数组，分别表示 x 和 y 坐标是否小于 0.5。通过将它们相乘，我们可以得到一个新的布尔数组 both ，其中 True 表示该点同时满足两个条件。最后，使用 sum() 函数可以统计满足条件的点的数量。

3. 圆周率的估计

估计圆周率是蒙特卡罗方法的一个经典应用。考虑一个半径为 1 的圆内切于一个边长为 2 的正方形。通过在正方形内随机