20、动态规划：从入门到精通

动态规划：从入门到精通

1. 动态规划简介

动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种用于解决复杂问题的技术，它通过将问题分解为更小的子问题来简化求解过程。当其他方法（如分治法和贪心算法）无法提供最优解时，可以采用动态规划。动态规划的特点在于它可能会重复利用已经解决过的子问题的答案，以此来减少计算量。为了更好地理解和应用动态规划，多做练习是非常重要的。在动态规划中，“编程”这个词并不是指编写代码，而是指填充表格，类似于线性规划中的做法。

1.1 动态规划的应用场景

动态规划适用于以下场景：
- 优化问题 ：当问题可以通过递归定义为子问题，并且这些子问题存在重叠时，动态规划可以显著降低时间复杂度。
- 组合问题 ：如背包问题、找零问题等，需要在有限的选择中找到最优解。
- 序列问题 ：如最长递增子序列、编辑距离等，涉及序列中元素的排列组合。

1.2 动态规划的基本思想

动态规划的核心思想是将复杂问题分解为更简单的子问题，并通过保存子问题的解来避免重复计算。具体步骤如下：
1. 定义状态 ：确定子问题的状态表示。
2. 确定边界条件 ：明确子问题的初始条件。
3. 状态转移方程 ：建立子问题之间的递推关系。
4. 计算结果 ：根据状态转移方程计算最终结果。

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