18、R语言中的中级线性代数：矩阵的迹、范数、特征值与特征向量

R语言中的中级线性代数：矩阵的迹、范数、特征值与特征向量

1. 矩阵的迹

1.1 矩阵迹的定义与计算

矩阵的迹是一个仅适用于方阵的量，对于方阵 (A)，其迹记为 (tr(A))，计算方法是方阵对角元素之和。

以下是在R语言中计算矩阵迹的示例：

# 创建一个3x3矩阵
A = as.matrix(data.frame("c1"=c(1,2,3),"c2"=c(2,5,2),"c3"=c(-1,8,3)))
print(A)
# 提取对角元素
diag_A <- diag(A)
print(diag_A)
# 计算迹
trace_A <- sum(diag_A)
print(trace_A)

由于R语言中没有直接计算迹的内置函数，我们可以自定义一个函数：

trace <- function(A) {
  # 获取矩阵维度
  n = dim(A)[1]
  # 初始化迹的值
  tr = 0
  # 累加对角元素
  for(k in 1:n) {
    l = A[k,k]
    tr = tr + l
  }
  return(tr[[1]])
}
# 测试自定义函数
print(trace(A))

1.2 矩阵迹的特殊性质

为了说明矩阵迹的性质，我们再创建一个矩阵 (B)：

B = as.matrix(data.frame("c1"=c(1,