40、数字图像处理中的符号与术语规范

数字图像处理中的符号与术语规范

1. 术语问题与应对准则

数字图像处理具有多学科性质，因此像其他领域一样，不存在统一且被广泛接受的术语。主要存在两个基本问题：
- 术语冲突 ：不同领域对相同术语使用不同的符号甚至名称。
- 符号歧义 ：由于图像处理及其相关领域使用了众多术语，同一个符号可能用于多个术语。

为解决这一尴尬局面，需遵循以下准则：
- 遵循通用标准 ：参考国际组织（如国际标准化组织 ISO）推荐的符号，并比较多个主要参考著作。仅在少数冲突情况下，才使用与公认符号不同的表示。
- 使用最紧凑的符号 ：在有多种符号可供选择时，采用最紧凑且全面的符号。极少数情况下，对同一术语使用多种符号可能更有用，例如有时使用索引向量分量（x = [x1, x2]T）更方便，有时使用 x = [x, y]T 更合适。
- 允许符号歧义 ：同一个符号可以有不同含义，但从上下文来看，其含义是明确的。因此，仅在上下文中能清晰区分时才使用有歧义的符号。

2. 部分特殊术语的不同定义

• 波数 ：存在不同的定义。物理学家通常在波数定义中包含 2π 因子，即 k′ = 2π/λ，类似于圆周频率 ω = 2π/T = 2πν 的定义。而在光学和光谱学中，波数定义为波长的倒数，不包含 2π 因子，用 ˜ν = λ−1 表示。
• 虚数单位 ：这里用 i 表示虚数单位，而在电气工程及相关领域，通常使用符号 j。
• 时间序列和图像矩阵 ：时间序列的标准符号 x[n] 用于多维信号时过于繁琐，如 g[k][m][n]。因此，选择更紧凑的符号 xn 和 gk,m,n。
• 偏导数 ：在不引起混淆的情况下，偏导数通过索引缩写，例如 ∂g/∂x = ∂xg = gx。

3. 符号类型与含义

以下是不同类型符号及其含义的详细说明：
|类型|符号示例|含义说明|
| ---- | ---- | ---- |
|正体符号|e, i, d, w|具有特殊含义，如 e 是自然对数的底数，i = √−1，dg 是导数符号，w = e2πi|
|斜体（非粗体）|a, b, …|表示标量|
|小写斜体粗体|g, k, u, x, …|表示向量，如坐标向量、时间序列、图像的行等|
|大写斜体粗体|G, H, J, …|表示矩阵、张量，如离散图像、二维卷积掩码、结构张量等，也用于二维以上的信号|
|花体字母|B, R, F, …|表示与表示无关的运算符|
|黑板粗体字母|N, Z, R, C|表示数集或其他数量集合|

4. 符号修饰与含义

修饰符号	示例	含义说明
上横线	¯k, ¯n, …	表示单位向量
波浪号	˜k, ˜x, …	表示无量纲的归一化量（针对有维度的量）
帽子符号	ˆG, ˆg(k), …	表示在傅里叶域中的量

5. 下标、上标与索引的含义

• 下标
  |下标示例|含义说明|
  | ---- | ---- |
  |gn|向量 g 的第 n 个元素|
  |gmn|矩阵 G 的第 m 行第 n 列元素|
  |gp|连续函数 g 沿 p 方向的一阶偏导数的紧凑表示，即 ∂g(x)/∂xp|
  |gpq|连续函数 g(x) 沿 p 和 q 方向的二阶偏导数的紧凑表示，即 ∂2g(x)/(∂xp∂xq)|

• 上标
  |上标示例|含义说明|
  | ---- | ---- |
  |A−1, A−g|方阵 A 的逆矩阵；非方阵 A 的广义逆矩阵|
  |AT|矩阵的转置|
  |a⋆|复共轭|
  |A⋆|矩阵的复共轭转置|

• 索引
  |索引示例|含义说明|
  | ---- | ---- |
  |K, L, M, N|离散图像在 t, z, y, 和 x 方向的扩展|
  |k, l, m, n|离散图像在 t, z, y, 和 x 方向的索引|
  |r, s, u, v|离散图像在傅里叶域中 t, z, y, 和 x 方向的索引|
  |P|多通道图像的分量数；特征空间的维度|
  |Q|量化级别数或对象类别数|
  |R|邻域运算符的掩码大小|
  |W|图像或特征空间的维度|
  |p, q, w|多通道图像中分量的索引、图像中的维度、量化级别或特征|

6. 函数与图像运算符

• 函数
  |函数符号|含义说明|
  | ---- | ---- |
  |cos(x)|余弦函数|
  |exp(x)|指数函数|
  |ld(x)|以 2 为底的对数函数|
  |ln(x)|以 e 为底的对数函数|
  |log(x)|以 10 为底的对数函数|
  |sin(x)|正弦函数|
  |sinc(x)|Sinc 函数，sinc(x) = sin(πx)/(πx)|
  |det(G)|方阵的行列式|
  |diag(G)|方阵的对角元素向量|
  |trace(G)|方阵的迹|
  |cov(g)|随机向量的协方差矩阵|
  |E(g), var(G)|期望（均值）和方差|

• 图像运算符
  |运算符符号|含义说明|
  | ---- | ---- |
  |·|两个图像的逐点乘法|
  |∗|卷积|
  |⋆|相关|
  |⊖, ⊕|形态学腐蚀和膨胀运算符|
  |◦, •|形态学开运算和闭运算运算符|
  |⊗|形态学击中 - 击不中运算符|
  |∨, ∧|布尔或和与运算符|
  |∪, ∩|集合的并集和交集|
  |⊂, ⊆|集合是子集、子集或相等|

7. 移位运算符

运算符符号	含义说明
↓s	采样或缩减运算符，仅取每隔 s 个像素、行等
↑s	扩展或插值运算符，在每个坐标方向上将分辨率提高 s 倍，新点通过可用点插值得到

8. 希腊字母与罗马字母符号

以下是希腊字母和罗马字母符号的含义：
- 希腊字母
|符号|定义与单位|含义|
| ---- | ---- | ---- |
|α|[m−1]|吸收系数|
|β|[m−1]|散射系数|
|δ(x), δn|连续、离散 δ 分布|无|
|∆|∑Ww=1 ∂2/∂x2w|拉普拉斯算子|
|ϵ|[1]|比发射率|
|ϵ|[m]|模糊盘半径|
|κ|[m−1]|消光系数，吸收和散射系数之和|
|∇|[∂/∂x1, …, ∂/∂xW]T|梯度算子|
|λ|[m]|波长|
|ν|[s−1], [Hz]|频率|
|∇×|旋转算子|
|η|n + iξ, [1]|复折射率|
|η|[1]|量子效率|
|φ|[rad], [°]|相移、相位差|
|φe|[rad], [°]|方位角|
|Φ|[J/s], [W], [s−1], [lm]|辐射或发光通量|
|Φe, Φp|[W], [s−1], [lm]|基于能量的辐射通量、基于光子的辐射通量和发光通量|
|ρ, ρ∥, ρ⊥|[1]|非偏振、平行偏振和垂直偏振光的反射率|
|ρ|[kg/m3]|密度|
|σx|随机变量 x 的标准差|无|
|σ|5.6696 · 10−8Wm−2K−4|斯特藩 - 玻尔兹曼常数|
|σs|[m2]|散射截面|
|τ|[1]|光学深度（厚度）|
|τ|[1]|透射率|
|τ|[s]|时间常数|
|θ|[rad], [°]|入射角|
|θb|[rad], [°]|布儒斯特角（偏振角）|
|θc|[rad], [°]|临界角（全反射角）|
|θe|[rad], [°]|极角|
|θi|[rad], [°]|入射角|
|Ω|[sr]|立体角|
|ω|ω = 2πν, [s−1], [Hz]|圆周频率|

• 罗马字母
  |符号|定义与单位|含义|
  | ---- | ---- | ---- |
  |A|[m2]|面积|
  |a, a|a = xtt = ut, [m/s2]|加速度|
  |ˆb(˜k)|二项式掩码的传递函数|无|
  |B|[Vs/m2]|磁场|
  |B|二项式滤波器掩码|无|
  |B|二项式卷积运算符|无|
  |c|2.9979 · 108 ms−1|光速|
  |C|复数集|无|
  |d|[m]|光学器件的直径（孔径）、距离|无|
  |d′|[m]|像空间中的距离|无|
  |ˆd(˜k)|D 的传递函数|无|
  |D|[m2/s]|扩散系数|
  |D|一阶差分滤波器掩码|无|
  |D|一阶差分运算符|无|
  |e|1.6022 · 10−19 As|基本电荷|
  |e|2.718281 …|自然对数的底数|
  |E|[W/m2], [lm/m2], [lx]|辐射（辐照度）或发光（照度）入射能量通量密度|
  |E|[V/m]|电场|
  |¯e|[1]|矩阵的单位特征向量|
  |f, fe|[m]|光学系统的（有效）焦距|
  |fb, ff|[m]|后焦距和前焦距|
  |f|光流|无|
  |f|特征向量|无|
  |F|[N]|力|
  |G|图像矩阵|无|
  |H|通用滤波器掩码|无|
  |h|6.6262 · 10−34 Js|普朗克常数（作用量子）|
  |ℏ|h/(2π) [Js]|约化普朗克常数|
  |i|√−1|虚数单位|
  |I|[W/sr], [lm/sr]|辐射或发光强度|
  |I|[A]|电流|
  |I|单位矩阵|无|
  |I|单位运算符|无|
  |J|结构张量、惯性张量|无|
  |kB|1.3806 · 10−23 J/K|玻尔兹曼常数|
  |k|1/λ, [m−1]|波数的大小|
  |k|[m−1]|波数（单位长度内的波长数）|
  |˜k|k∆x/π|相对于可采样的最大波数（奈奎斯特波数）归一化的波数|
  |Kq|[l/mol]|猝灭常数|
  |Kr|Φν/Φe, [lm/W]|辐射发光效率|
  |Ks|Φν/P [lm/W]|照明系统发光效率|
  |KI|[1]|指示剂平衡常数|
  |L|[W/(m2sr)], [1/(m2sr)], [lm/(m2sr)], [cd/m2]|辐射（辐射率）或发光（亮度）通量密度每立体角|
  |L|拉普拉斯滤波器掩码|无|
  |L|拉普拉斯运算符|无|
  |m|[kg]|质量|
  |m|[1]|光学系统的放大倍数|
  |m|特征向量|无|
  |M|[W/m2], [1/(s m2)]|激发辐射能量通量密度（激发度、发射度）|
  |Me|[W/m2]|基于能量的激发度|
  |Mp|[1/(s m2)]|基于光子的激发度|
  |M|特征空间|无|
  |n|[1]|折射率|
  |na|[1]|光学系统的数值孔径|
  |nf|f/d, [1]|光学系统的孔径|
  |¯n|[1]|垂直于表面的单位向量|
  |N|自然数集：{0, 1, 2, …}|无|
  |p|[kg m/s], [W m]|动量|
  |p|[N/m2]|压力|
  |pH|[1]|pH 值，质子浓度的负对数|
  |Q|[Ws], [lm s]|辐射或发光能量、光子数|
  |Qs|[1]|散射效率因子|
  |r|[m]|半径|
  |rm,n|rm,n = [m∆x, n∆y]T|网格上的平移向量|
  |ˆrp,q|ˆrp,q = [p/∆x, q/∆y]T|倒数网格上的平移向量|
  |R|Φ/s, [A/W]|辐射探测器的响应度|
  |R|盒式滤波器掩码|无|
  |R|实数集|无|
  |s|[A]|传感器信号|
  |T|[K]|绝对温度|
  |t|[s]|时间|
  |t|[1]|透射率|
  |u|[m/s]|速度|
  |u|[m/s]|速度向量|
  |U|[V]|电压、电势|
  |V|[m3]|体积|
  |V(λ)|[lm/W]|明视觉光谱发光效能|
  |V ′(λ)|[lm/W]|暗视觉光谱发光效能|
  |w|e2πi|无|
  |wN|exp(2πi/N)|无|
  |x|[x, y]T, [x1, x2]T|空间域中的图像坐标|
  |X|[X, Y, Z]T, [X1, X2, X3]T|世界坐标|
  |Z, Z+|整数集、正整数集|无|

通过以上对数字图像处理中各种符号和术语的规范说明，我们可以更准确地理解和交流相关的概念和算法。在实际应用中，遵循这些规范有助于避免因术语不一致和符号歧义带来的误解。

数字图像处理中的符号与术语规范（续）

9. 符号与术语规范的重要性及应用示例

在数字图像处理的实际操作中，遵循符号与术语规范具有极其重要的意义。下面通过几个具体的应用示例来进一步说明。

9.1 图像滤波操作

在图像滤波过程中，卷积操作是非常常见的。例如，使用一个二维卷积掩码 (H) 对图像矩阵 (G) 进行卷积操作，用符号表示就是 (G * H)。这里的 (G) 是大写斜体粗体，表示矩阵（离散图像），(H) 同样是大写斜体粗体，表示通用滤波器掩码，而 ( * ) 是卷积运算符。

具体操作步骤如下：
1. 确定卷积掩码 (H) 的大小和元素值。
2. 将卷积掩码 (H) 逐行逐列地在图像矩阵 (G) 上滑动。
3. 在每个位置，将卷积掩码 (H) 的元素与图像矩阵 (G) 对应位置的元素相乘，并将结果相加。
4. 将相加的结果作为新图像对应位置的像素值。

流程图如下：

graph TD;
    A[开始] --> B[确定卷积掩码 H];
    B --> C[将 H 在 G 上滑动];
    C --> D[对应元素相乘并相加];
    D --> E[更新新图像像素值];
    E --> F{是否遍历完 G};
    F -- 否 --> C;
    F -- 是 --> G[结束];

9.2 图像特征提取

在提取图像特征时，经常会用到梯度算子 (\nabla)。例如，对于一个二维图像 (g(x,y))，其梯度可以表示为 (\nabla g = [\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}]^T)。这里的 (\nabla) 是梯度算子，用坐标向量的形式表示，而偏导数 (\frac{\partial g}{\partial x}) 和 (\frac{\partial g}{\partial y}) 可以通过索引缩写为 (g_x) 和 (g_y)。

具体操作步骤如下：
1. 计算图像 (g(x,y)) 在 (x) 方向和 (y) 方向的偏导数 (g_x) 和 (g_y)。
2. 将 (g_x) 和 (g_y) 组合成梯度向量 (\nabla g)。

表格展示梯度计算示例：
| 图像位置 ((x,y)) | (g(x,y)) | (g_x) | (g_y) | (\nabla g) |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| ((1,1)) | 10 | 2 | 3 | ([2, 3]^T) |
| ((1,2)) | 12 | 1 | 4 | ([1, 4]^T) |

10. 总结与注意事项

数字图像处理中的符号与术语规范为我们提供了一种统一且准确的交流方式。通过遵循这些规范，我们可以更清晰地表达和理解各种概念和算法，避免因术语冲突和符号歧义带来的问题。

在实际应用中，需要注意以下几点：
- 始终遵循通用标准，尽量使用被广泛接受的符号和术语。
- 在使用有歧义的符号时，要确保上下文能够明确其含义。
- 对于特殊术语的不同定义，要根据具体领域和应用场景进行正确选择。

总之，准确掌握和运用这些符号与术语规范，将有助于我们在数字图像处理领域取得更好的研究和实践成果。

通过以上对数字图像处理中符号与术语规范的全面介绍，我们希望读者能够更加深入地理解和应用这些知识，提高数字图像处理的效率和准确性。