68、交互式与非交互式零知识证明全解析

交互式与非交互式零知识证明全解析

1. 承诺问题与归约

承诺问题是指给定一个“承诺”处于 $\Pi_Y \cup \Pi_N$ 中的元素，判断它是在 $\Pi_Y$ 还是 $\Pi_N$ 中。从一个承诺问题到另一个承诺问题的归约是语言之间归约的自然扩展。若存在一个多项式时间可计算的函数 $f$，使得当 $x \in \Pi_Y$ 时，$f(x) \in \Gamma_Y$；当 $x \in \Pi_N$ 时，$f(x) \in \Gamma_N$，则称 $\Pi$ 可归约到 $\Gamma$，记作 $\Pi \preceq \Gamma$。同时，我们可以自然地扩展复杂度类的定义，将语言中字符串的属性视为“是”实例的条件，语言外字符串的属性视为“否”实例的条件。

2. 实例依赖的密码学原语

2.1 实例依赖的函数集合

实例依赖的函数集合 $F = {f_x : {0, 1}^{p(|x|)} \to {0, 1}^{q(|x|)}}_{x \in {0, 1}^ }$，其中 $p(\cdot)$ 和 $q(\cdot)$ 是多项式。若存在一个多项式时间算法 $F$，使得对于所有 $x \in {0, 1}^ $ 和 $y \in {0, 1}^{p(|x|)}$，都有 $F(x, y) = f_x(y)$，则称 $F$ 是多项式时间可计算的。

2.2 实例依赖的单向函数

在集合 $I$ 上的实例依赖的单向函数是一个多项式时间实例依赖的函数集合 $F = {f_x : {0, 1}^{p(|x|)} \to {0, 1}^{q(|x|)}} {x \in {0, 1}^*}$，对于