8、RSA加密算法：原理、安全与攻击

RSA加密算法：原理、安全与攻击

一、RSA加密系统概述

RSA加密系统基于已有250多年历史的初等数论事实。要建立RSA加密系统，需将两个非常大的素数相乘，并将它们的乘积n公开。n是公钥的一部分，而n的因子则被保密，用作私钥。其基本思想是无法从n恢复出其因子，RSA的安全性依赖于分解大整数的巨大难度。

二、RSA的工作流程

2.1 密钥生成

每个RSA用户（如Bob）都有自己的公钥和私钥。生成密钥对的步骤如下：
1. 随机选择两个大的不同素数p和q，并计算n = p·q。
2. 选择一个整数e，满足1 < e < φ(n)，且e与φ(n)互质。其中φ(n) = (p - 1)(q - 1)。然后将(n, e)作为公钥发布。
3. 计算d，使得ed ≡ 1 mod φ(n)。(n, d)即为私钥。

生成素数p和q时，先随机选择一个大数x，若x为偶数则将其替换为x + 1，然后使用概率素性测试来检查x是否为素数。若不是，则重复该过程。目前建议使用1024位的素数，但无法预测其安全时长。

e作为密钥的一部分，也应随机生成，可使用欧几里得算法测试e是否与φ(n)互质。在实践中，为提高效率，e常不随机选择，但需谨慎，避免受到特定攻击。

2.2 加密与解密

• 加密 ：Alice使用Bob的公钥(n, e)对消息进行加密。她可以加密的消息m ∈ {0, …, n - 1}，将其视为Zn中的元素。加密函数为RSAn,e : Zn → Zn, m → me，即密文c为me模n。
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