23、用于正交变换的广义点对点方法

用于正交变换的广义点对点方法

1. 引言

迭代最近点（ICP）算法是基于纯几何特征对三维模型进行“对齐”的重要方法。对齐是一种几何变换，它能以最佳方式在 $L_2$ 范数下连接 $R^3$ 中的两个点数据集（点云）。该算法广泛用于记录 3D 扫描仪获取的数据。

ICP 算法最初由 Besl 和 Mackay 以及 Chen 和 Medioni 提出，其迭代步骤如下：
1. 在两个点云中选择点的子集。
2. 确定所选子集中点之间的对应关系。
3. 比较所得点对的权重系数。
4. 根据各种标准舍弃一些点对。
5. 为点对选择误差度量。
6. 最小化误差度量（ICP 算法的变分子问题）。

ICP 算法的关键在于寻找正交或仿射变换，该变换在二次度量意义下能以最佳方式合并具有给定点对应关系的两个点云。选择点对误差度量主要有两种方法：
- 点对点方法：使用 $R^3$ 中一对元素之间的距离。
- 点到平面方法：考虑第一个点云中的点与第二个点云中对应点的切平面之间的距离。

对于正交变换，Horn 以封闭形式解决了该问题。原始 ICP 算法广泛用于刚性物体的配准，但对非刚性物体效果不佳。此外，点到平面度量在准确性和收敛速度方面优于点对点度量。本文提出一种解决 ICP 变分问题的方法，该方法利用了点的坐标和点云法向量的信息，介于常见的点对点和点到平面方法之间，数值模拟结果表明该方法比普通的点对点 ICP 更准确。

下面是 ICP 算法步骤的 mermaid 流程图：

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