排序-堆排序

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堆的定义：

n个关键字序列L[0...n-1]称为堆，当且仅当该序列满足：

L(i) <= L(2i + 1) 且 L(i) <= L(2i + 2) ,此为最小堆。
L(i) >= L(2i + 1) 且 L(i) >= L(2i + 2) ,此为最大堆。

算法步骤：

利用给定数组创建一个堆H[0...n-1]（假定以最大堆为例），输出堆顶元素。
将最后一个（堆低）元素送入堆顶，此时根节点不满足大顶堆的性质，堆被破坏，将堆顶元素向下调整使其继续保持大顶堆的性质，然后再输出堆顶元素。
如此重复，直到堆中仅剩一个元素为止。

调整最小堆：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;


void AdjustMinHeap(vector<int>& data, int pos, int right)
{

    int temp = data[pos];
    while(2 * pos + 1 <= right)
    {
        int child = 2 * pos + 1; // child 为需要调整的元素（下标为 pos ）的左子节点的下标位置
        if(child + 1 <= right && data[child] > data[child +1] ) // 判断pos 是否存在右子节点，如果存在，则找出左子节点和右子节点的较小者
        {
            child = child + 1; // 右子节点比左子节点小，此时的位置更新为pos的右子节点
        }
        if(data[child] < temp)
        {
            data[pos] = data[child]; // 如果左右节点中较小的一个节点小于 pos 节点，则进行调整，也就是将这个较小的子节点赋值给父节点，
        }
        else
            break;  // 不需要调整，已经满足最小堆的性质了，所以跳出循环，
        pos = child; //如果上述条件满足，还需要依次往下判断调整。将调整的位置更新为从 child 开始
    }
    data[pos] = temp; //将最开始位置的节点赋值给最后不需要调整的节点。因为一开始调整的时候，父节点是被左右子节点中较小的一个节点直接覆盖的，
    // 然后子节点满足调整的条件的话，子节点又会被其左右子节点中较小的一个节点直接覆盖的。
}

void HeapSort(vector<int>& data)
{
    int len = data.size();
    for(int i = len/2 -1; i>=0; i--)//这里给定的关键字序列下标是从 0 开始计数的，所以从 （len/2-1）开始调整堆，即从最后一个元素的父节点开始。
    {
        AdjustMinHeap(data, i, len-1); //从最后一个元素的父节点开始建堆。
    }
    for(int i= len-1; i>=0; i--)
    {
        swap(data[i], data[0]); // 交换堆顶最小元素和序列的最后一个元素的位置。
        AdjustMinHeap(data, 0, i-1); // 这里从位置0处开始向下调整是因为，上一步刚刚交换了堆顶元素和最后一个元素，
        // 只是更换了堆顶的元素，所以只要向下调整堆顶元素到合适的位置就好了。
    }
}

int main()
{
    int numbers[] = {53, 17, 78, 9, 45, 65, 87, 32};
    vector<int>num(numbers,numbers+8);

    cout<<"数组的原来序列为：";
    vector<int>::iterator it = num.begin();
    for(it = num.begin(); it != num.end(); it++)
        cout<< *it <<' ';
    cout<< endl<<endl;

    // 堆排序
    HeapSort(num);

    cout <<"经过最小堆的调整后，（每次将最小值放在序列的最后），数组变为: ";
    for(it = num.begin(); it != num.end(); it++)
        cout<< *it <<' ';
    cout<< endl;
    return 0;
}

调整最大堆：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;


void AdjustMaxHeap(vector<int>& data, int pos, int right)
{

    int temp = data[pos];
    while(2 * pos + 1 <= right)
    {
        int child = 2 * pos + 1; // child 为需要调整的元素（下标为 pos ）的左子节点的下标位置
        if(child + 1 <= right && data[child] < data[child +1] ) // 判断pos 是否存在右子节点，如果存在，则找出左子节点和右子节点的较大者
        {
            child = child + 1; // 右子节点比左子节点大，此时的位置更新为pos的右子节点
        }
        if(data[child] > temp)
        {
            data[pos] = data[child]; // 如果左右节点中较大的一个节点大于 pos 节点，则进行调整，也就是将这个较大的子节点赋值给父节点，
        }
        else
            break;  // 不需要调整，已经满足最大堆的性质了，所以跳出循环，
        pos = child; //如果上述条件满足，还需要依次往下判断调整。将调整的位置更新为从 child 开始
    }
    data[pos] = temp; //将最开始位置的节点赋值给最后不需要调整的节点。因为一开始调整的时候，父节点是被左右子节点中较大的一个节点直接覆盖的，
    // 然后子节点满足调整的条件的话，子节点又会被其左右子节点中较大的一个节点直接覆盖的。
}

void HeapSort(vector<int>& data)
{
    int len = data.size();
    for(int i = len/2 -1; i>=0; i--)//这里给定的关键字序列下标是从 0 开始计数的，所以从 （len/2-1）开始调整堆，即从最后一个元素的父节点开始。
    {
        AdjustMaxHeap(data, i, len-1); //从最后一个元素的父节点开始建堆。
    }
    for(int i= len-1; i>=0; i--)
    {
        swap(data[i], data[0]); // 交换堆顶最小元素和序列的最后一个元素的位置。
        AdjustMaxHeap(data, 0, i-1); // 这里从位置0处开始向下调整是因为，上一步刚刚交换了堆顶元素和最后一个元素，
        // 只是更换了堆顶的元素，所以只要向下调整堆顶元素到合适的位置就好了。
    }
}

int main()
{
    int numbers[] = {53, 17, 78, 9, 45, 65, 87, 32};
    vector<int>num(numbers,numbers+8);

    cout<<"数组的原来序列为：";
    vector<int>::iterator it = num.begin();
    for(it = num.begin(); it != num.end(); it++)
        cout<< *it <<' ';
    cout<< endl<<endl;

    // 堆排序
    HeapSort(num);

    cout <<"经过最大堆的调整后，（每次将最大值放在序列的最后），数组变为: ";
    for(it = num.begin(); it != num.end(); it++)
        cout<< *it <<' ';
    cout<< endl;
    return 0;
}

借助C++ STL库的堆实现：

1，使用heap相关的算法：

make_heap(): 根据指定的迭代器区间以及一个可选的比较函数，来创建一个heap. 时间复杂度O(N)

push_heap(): 把指定区间的最后一个元素插入到heap中. 时间复杂度O(logN)

pop_heap(): 弹出heap顶元素, 将其放置于区间末尾. 时间复杂度O(logN)

sort_heap()：堆排序算法，通常通过反复调用pop_heap()来实现. 时间复杂度N*O(logN)

C++11 加入两个新成员：

is_heap: 判断给定区间是否是一个heap. 时间复杂度NO(N)
is_heap_until: 找出区间中第一个不满足heap条件的位置. 时间复杂度NO(N)

应用：剑指offer-面试题 41：数据流中的中位数