RMQ

本文介绍了一个解决HDU2888问题的算法实现,通过使用区间最大值查询(RMQ)来高效地处理矩阵中子矩形的最大值问题。该算法首先预处理所有可能范围的最大值,然后通过查询四个子区域的最大值来确定目标矩形的最大值。

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hdu 2888 check corners
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>

using namespace std;

#define MAXN 301

int dp[MAXN][MAXN][9][9];
int val[MAXN][MAXN];
int m, n;

void RMQ()
{
    int kn = int(trunc(log2((double)n))), km = int(trunc(log2((double)m)));
    for (int i = 0; i <= km; ++i){
        for (int j = 0; j <= kn; ++j){
            if (i == 0 && j == 0)continue;
            for (int r = 1; r + (1<<i) - 1 <= m; ++r){
                for (int c = 1; c + (1<<j) - 1 <= n; ++c){
                    if (i == 0){
                        dp[r][c][i][j] = max(dp[r][c][i][j-1], dp[r][c+(1<<(j-1))][i][j-1]);
                    }
                    else {
                        dp[r][c][i][j] = max(dp[r][c][i-1][j], dp[r+(1<<(i-1))][c][i-1][j]);
                    }
                }
            }
        }
    }
}

int query(int r1, int c1, int r2, int c2)
{
    if (r1 > r2)swap(r1, r2);
    if (c1 > c2)swap(c1, c2);
    int km = int(trunc(log2((double)(r2-r1+1))));
    int kn = int(trunc(log2((double)(c2-c1+1))));
    int t1 = dp[r1][c1][km][kn];
    int t2 = dp[r2-(1<<km)+1][c1][km][kn];
    int t3 = dp[r1][c2-(1<<kn)+1][km][kn];
    int t4 = dp[r2-(1<<km)+1][c2-(1<<kn)+1][km][kn];
    return max(max(t1, t2), max(t3, t4));
}

int main()
{
    int q, r1, c1, r2, c2;
    while (~scanf ("%d%d", &m, &n)){
        memset (dp, 0, sizeof(dp));
        for (int i = 1; i <= m; ++i){
            for (int j = 1; j <= n; ++j){
                scanf ("%d", &dp[i][j][0][0]);
            }
        }
        RMQ();
        scanf ("%d", &q);
        while (q--){
            scanf ("%d%d%d%d", &r1, &c1, &r2, &c2);
            int ret = query(r1, c1, r2, c2);
            printf ("%d ", ret);
            if (ret == dp[r1][c1][0][0] || ret == dp[r1][c2][0][0] || ret == dp[r2][c1][0][0] || ret == dp[r2][c2][0][0]){
                printf ("yes\n");
            }
            else printf ("no\n");
        }
    }
    return 0;
}

RMQ(Range Minimum/Maximum Query)问题是指在给定的一个序列中,多次查询某个区间内的最小值或最大值的问题。这类问题在计算机科学中有广泛的应用,尤其是在需要高效处理大量数据的情况下。 ### 原理 RMQ问题可以通过多种算法来解决,其中最著名的是稀疏表(Sparse Table, ST)算法。ST算法的核心思想是利用动态规划预先计算出所有可能的区间长度为$2^j$的区间的最小值或最大值,这样可以在常数时间内完成每次查询[^3]。具体来说,对于一个数组`A`,我们构建一个二维数组`f`,其中`f[i][j]`表示从位置`i`开始,长度为$2^j$的区间中的最小值或最大值。预处理阶段的时间复杂度为$O(n \log n)$,而查询阶段的时间复杂度为$O(1)$[^4]。 ### 实现方法 #### 预处理 预处理阶段主要是填充`f`数组。假设原数组`A`的长度为`n`,则对于每个`i`从`1`到`n`,以及`j`从`1`到$\log_2(n)$,我们有: $$ f[i][j] = \min(f[i][j-1], f[i+2^{j-1}][j-1]) $$ 这里的`min`可以替换为`max`,取决于我们需要求解的是最小值还是最大值。此外,还需要计算对数表`log_table`,用于后续查询时确定合适的`k`值,即最大的整数使得$2^k \leq r-l+1$。 ```cpp // 初始化log_table for (int i = 1; i <= n; ++i) { log_table[i] = floor(log(i) / log(2)); } ``` #### 查询 当进行查询时,给定区间`[l, r]`,我们可以找到最大的整数`k`使得$2^k \leq r-l+1$。然后,使用预处理好的`f`数组来获取两个长度为$2^k$的区间的最小值或最大值,并取这两个值中的最小值或最大值作为最终结果。 ```cpp // 查询[l, r]区间内的最小值 int query(int l, int r) { int len = r - l + 1; int k = log_table[len]; return min(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]); } ``` 上述代码片段展示了如何通过预处理和查询来实现RMQ问题的解决方案。需要注意的是,这里的`min`函数也可以被替换成`max`函数,以适应不同的需求。此外,实际应用中还需要考虑边界条件和其他细节[^5]。
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