校招算法笔面试 | 斐波那契数列_1

题目

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#描述
此题是非常经典的入门题了。我记得第一次遇到此题是在课堂上,老师拿来讲“递归”的(哈哈哈)。同样的类型的题还有兔子繁殖的问题。大同小异。此题将用三个方法来解决,从入门到会做。
考察知识:递归,记忆化搜索,动态规划和动态规划的空间优化。
难度:一星

#题解
###方法一:递归
题目分析,斐波那契数列公式为:f[n] = f[n-1] + f[n-2], 初始值f[0]=0, f[1]=1,目标求f[n]
看到公式很亲切,代码秒秒钟写完。

class Solution {
public:
    int Fibonacci(int n) {
        if (n<=2) return 1;
        return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
    }
};

优点,代码简单好写,缺点:慢,会超时
时间复杂度:O(2^n)
空间复杂度:递归栈的空间
###方法二:记忆化搜索
拿求f[5] 举例
外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传

通过图会发现,方法一中,存在很多重复计算,因为为了改进,就把计算过的保存下来。
那么用什么保存呢?一般会想到map, 但是此处不用牛刀,此处用数组就好了。

class Solution {
public:
    int f[50]{0};
    int Fibonacci(int n) {
        if (n <= 2) return 1;
        if (f[n] > 0) return f[n];
        return f[n] = (Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2));
    }
};

时间复杂度:O(n), 没有重复的计算
空间复杂度:O(n)和递归栈的空间

方法三:动态规划

虽然方法二可以解决此题了,但是如果想让空间继续优化,那就用动态规划,优化掉递归栈空间。
方法二是从上往下递归的然后再从下往上回溯的,最后回溯的时候来合并子树从而求得答案。
那么动态规划不同的是,不用递归的过程,直接从子树求得答案。过程是从下往上。

class Solution {
public:
    int dp[50]{0};
    int Fibonacci(int n) {
        dp[1] = 1, dp[2] =1;
        for (int i = 3 ; i <= n ; i ++) dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];
        return dp[n];
    }
};

时间复杂度:O(n)
空间复杂度:O(n)
###继续优化
发现计算f[5]的时候只用到了f[4]和f[3], 没有用到f[2]…f[0],所以保存f[2]…f[0]是浪费了空间。
只需要用3个变量即可。

class Solution {
public:
    int Fibonacci(int n) {
        int a = 1 , b = 1 , c = 1;
        for (int i = 3 ; i <= n ; i ++) {
            c = a+b , a = b , b = c;
        }
        return c;
    }
};

时间复杂度:O(n)
空间复杂度:O(1)
完美!

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