牛客题解 | 主成分分析 (PCA)

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主成分分析是一种将高维数据降维的方法，它通过将高维数据投影到低维空间，来保留数据的主要特征。
在本题中，PCA的实现方式是基于特征值分解的，其具体步骤如下：

1. 标准化数据

• 将输入数据标准化，使得每个特征的均值为0，方差为1。
• 数学表达式为：
  $$x_{standardized}=\frac{x-\mu }{\sigma }$$

2. 计算协方差矩阵

• 计算标准化后的数据协方差矩阵。
• 数学表达式为：
  $$covariance\_matrix=\frac{1}{m-1}\times (X^T\times X)$$

3. 计算特征值和特征向量

• 计算协方差矩阵的特征值和特征向量。
• 数学表达式为：
  $$eigenvalues,eigenvectors=np.linalg.eig(covariance\_matrix)$$

4. 选择主成分

• 选择特征值最大的k个特征向量作为主成分。
• 数学表达式为：
  $$principal\_components=eigenvectors[:,:k]$$

标准代码如下

def pca(data, k):
    data_standardized = (data - np.mean(data, axis=0)) / np.std(data, axis=0)
    
    covariance_matrix = np.cov(data_standardized, rowvar=False)
    
    eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(covariance_matrix)
    
    idx = np.argsort(eigenvalues)[::-1]
    eigenvalues_sorted = eigenvalues[idx]
    eigenvectors_sorted = eigenvectors[:,idx]
    
    principal_components = eigenvectors_sorted[:, :k]
    
    return np.round(principal_components, 4)