【C++】 斐波那契数列

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：

       F（0）=0，（n = 0）

       F（1）=1，（n = 1）

       F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）

斐波那契数列指的是这样一个数列 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368

特别指出：第0项是0，第1项是第一个1。

这个数列从第2项开始，每一项都等于前两项之和。

现实生活中，运用斐波那契数列的例子很多，而且这也是面试中经常会考到的经典问题

那么，这么一个看似不好想象的规律用代码怎么实现呢？

这里有几种方法：

1. 递归实现：
   <时间复杂度O（2^N）>
   

#include <iostream>
using namespace std;

long long Fibonacci1(long long n) //用long long类型考虑到大数问题
{
   if (n < 2)
   {
     return n;
   }
   else
   {    
     return FIB(n-1) + FIB(n-2);
   }
}

int main()
{
   cout << Fibonacci1(5) << endl; // 求某一项的值    
   system("pause");
   return 0;
}

递归似乎看起来很简单明了，若给的项数n较大时，其效率较低。

2.非递归实现：

<时间复杂度O（N）>

long long Fibonacci2(int n)
{
   long long * fibArray = new long long[n+1];// 根据项数n开辟数组
   fibArray[0] = 0;
   fibArray[1] = 1; // 手动设置好前两个数，由此可以求得下一个数的值

    for(int i = 2; i <= n ; ++i)
   {
      fibArray[i] = fibArray[i-1] + fibArray[i-2]; // 当前数等于前两个数加和
   }

   long long ret = fibArray[n];
    delete[] fibArray ;

   return ret ;
}

非递归效率相对递归较高，但是两者意义相同。

这两种方法，都需要掌握。

下面将两种方法整合一起：

#include <iostream>
using namespace std;

long long fibonacci_1(int n)//递归
{
    if (n<2)
    {
        return n;
    }
    return fibonacci_1(n - 1) + fibonacci_1(n - 2);
}

void fibonacci_2(int n)//非递归
{
    int i;
    long long *fibArray = new long long[n + 1];
    fibArray[0] = 0;
    fibArray[1] = 1;
    for (i = 2; i<n; i++)
        fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
    for (i = 0; i<n; i++)
        cout << fibArray[i] << " ";
}

int main(void)
{
    int i, n, k;
    printf("请输入斐波那契数列项数 ：");
    cin >>n;
    printf("请选择：1.递归   2.非递归 ：");
    cin >> k;
    if (k == 1)
    for (i = 0; i<n; i++)
        cout << fibonacci_1(i) <<" ";
    else
        fibonacci_2(n);

    system("pause");
    return 0;
}

若有纰漏，欢迎指正。

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