一道集众多技巧于一身的题目——《密文游戏》

小伙伴们好，卷卷毛又来了，今天来分享一个非常具有技巧性的题目。

这是一道状态统计题目，同时兼具了若干技巧，有优化空间复杂度的数组减维，还有处理超大数据运算的高精度以及压位处理…也许这些技巧中有小伙伴们不熟悉的词汇，不过不要紧张，在下面对题目的分析中，我们会一一讨论到。

题面

那我们话不多说，先看题目：

时空限制：

输入样例：

1414
BE

输出样例：

3

分析与实现

题目大意是，给定两个字符串作为原文和密文。译码后，密文为原文的一个子序列（注意不是子串，不必在原文中连续出现）。问将密文还原为原文有多少种还原方式。

分析

简单分析题目，在将源码转成译码之后就是一道方案统计的问题。一般来说，方案统计的问题也需要借助状态之间的转移，所以我们也总是将这种方案统计的问题与动态规划问题统称为DP，尽管这类问题不涉及最优解。

所以，这个问题我们依旧可以使用之前用来解决动态规划问题的思想，在状态转移的过程中完成对结果方案的统计，即：定状态，找转移，初始化。

（顺便打个广告，之前动态规划相关的文章在这里：区间动态规划 例题与解析， 最短路径的方案数统计问题（基于floyd算法）， 背包dp问题：背包九讲）

好了，我们言归正传~

定状态

对于这个问题，我们可以定义状态：
$$\begin{gathered} dp[i][j](j\le i,0\le i\le n,0\le j\le m) \\ n=len(A) \\ m=len(B) \end{gathered}$$
表示$a_1{a}_2..a_i$与$b_1{b}_2..b_j$补全匹配的方案数

找转移

定义好了状态，来处理状态间的转移。

可以分成两种情况：

• 当$a_i$与$b_j$不相同时，$dp[i][j]=dp[i-1][j]$，即最后一位不匹配，方案数同上一位$a_{i-1}$匹配到$b_j$相同。
• 当$a_i$与$b_j$相同时，$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j]$，即可以取最后一位不匹配，方案数同上；加上可以取最后一位匹配,方案数取上一位$a_{i-1}$与$b_{j-1}$