11、模块化运算：原理、实现与特殊模值处理

模块化运算：原理、实现与特殊模值处理

1. 模块化约简基础

模块化约简在很多领域都有重要应用，尤其是在密码学中。我们先来看几个模块化约简的例子：
- 例 1：设 (x = 101110011000_2 = 2968)，(m = 10001_2 = 17)。将 (x) 按每 4 位分组，(j = 3) 时，(x_2 = 1011_2 = 11)，(x_1 = 1001_2 = 9)，(x_0 = 1000_2 = 8)。则 (2968\bmod{17}=(11 - 9 + 8)\bmod{17}=10)。
- 例 2：设 (x = 1101101110011000_2 = 56216)，(m = 10001_2 = 17)。(j = 4) 时，(x_3 = 1100_2 = 13)，(x_2 = 1011_2 = 11)，(x_1 = 1001_2 = 9)，(x_0 = 1000_2 = 8)。则 (56216\bmod{17}=(-13 + 11 - 9 + 8)\bmod{17}=-3\bmod{17}=14)。

2. 特殊模值 (2^n - 1) 的实现

在模块化运算中，模值为 (2^n - 1) 的情况比较常见。在 (n) 位操作数的模 ((2^n - 1)) 加法中，判断中间结果与模值的大小关系相对容易：
- 若中间结果小于模值，加法无进位输出，结果就是模 (2^n - 1) 的正确结果。
- 若中间结果大于模值，有进位输出，丢弃进位并加 1 就得到模 (2^n - 1) 的正确结果。
- 若中间结果等于模值（二进制为 (11\cdots1)），情况稍复杂，需单独检测，然后加 1 并丢弃进位得到正确结果。