25、fMRI激活网络分析：使用玻色 - 爱因斯坦熵

fMRI激活网络分析：使用玻色 - 爱因斯坦熵

1. 引言

在处理高维数据中的复杂交互模式时，图是一种强大的工具。例如，在功能磁共振成像（fMRI）数据中，图能够呈现激活模式，这些模式可能预示着阿尔茨海默病的早期发作。而图核方法则为确定不同图的类别结构提供了新兴且强大的工具，像热扩散核、随机游走核和最短路径核等，都成功地利用了拓扑信息。然而，目前一个尚未解决的主要挑战是如何以概率的方式捕捉不同类别图中的变化。

近年来，统计力学和信息论被用于更深入地理解网络结构的变化。例如，基于玻色气体的物理类比，玻色 - 爱因斯坦凝聚现象被用于研究网络结构的显著特征。但这些类比方法难以融入基于核的机器学习方法中。

本文旨在搭建统计力学和核方法之间的桥梁，通过网络熵来定义信息论核。具体而言，使用玻色 - 爱因斯坦熵构建詹森 - 香农核，再应用核主成分分析（kPCA）将图映射到低维特征空间，以对不同类型的图或网络结构进行分类。

2. 图的量子表示

2.1 密度矩阵

在量子力学中，密度矩阵用于描述一个系统，该系统的状态是一组纯量子态 $|\psi_i\rangle$ 的集合，每个态的概率为 $p_i$，其定义为 $\rho = \sum_{i=1}^{V} p_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i|$。在图领域，可通过将归一化离散拉普拉斯矩阵按图中节点数量的倒数进行缩放来得到图或网络的密度矩阵。这样定义的密度矩阵是厄米特矩阵（$\rho = \rho^{\dagger}$ 且 $\rho \geq 0$，$Tr\rho = 1$），在量子观测过程中起着重要作用，可用于计算可测量量的期望值。

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