有限单元法基础 -- ING

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分类专栏： Mechanics

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本文深入解析虚位移原理、最小势能原理、卡氏定理等核心力学概念，阐述其在弹性、塑性及非保守系统中的应用。通过质点、离散质点系及连续介质的实例，详细说明虚功原理的数学表达与物理意义。

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基本概念

虚位移原理 / 最小势能原理 / 卡氏第一定理（principle of virtual displacment / principle of minimum potential energy / Castigliano principle）
虚应力原理 / 最小余能原理 / 卡氏第二定理 (principle of virtual stress / Principle of complementary energy / Castigliano principle)

其中，最小势能原理和最小余能原理在 弹性保守系统 内成立。而虚位移、应力原理对于弹性，塑性，非保守力均成立。

虚功原理

满足力学机理的方程求解方法（待扩充）

变分法
偏微分方程的数值解法
有限元 / 有限差分 / ...

力学内容

Lagrangian mechanics and Hamiltonian Mechanics
analytical mechanics

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虚功原理扩展阅读，copy form 知乎

作者：知乎用户
链接：https://www.zhihu.com/question/23984667/answer/88051972
来源：知乎
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这三个原理核心基础是虚功原理（Principle of Virtual Work, PVW）。它的结论是当且仅当对于任意虚位移(admissible)，外力做的虚功和内力做的虚功相等时（总虚功为零），系统是平衡的。用公式表示即：
[公式]

现在从以质点为例对虚功原理进行解释。如下图所示，该质点在n个力的作用下在某一位置处于平衡状态。

通过平衡方程可知：
[公式]

现在我们假设有一个任意的虚位移 [公式] ：

这样我们就可以计算总的虚功（力在虚位移上做的功）：
[公式]

于是我们可以得到结论： 对于一个质点，当且仅当对于任意虚位移，虚功为零时，质点处于平衡状态。这是PVW对于质点的描述。

注：由于对于单个质点没有系统内的内相互作用力，所以所有虚功为外力所做的虚功。

现在我们来看对于离散质点系（分刚体和变形体），虚功原理是如何描述的。

如上图所示，质点i受到净外力 [公式] 和净内力。内力即系统中质点间的相互作用。现在假设给刚体加一个虚位移，导致各个质点产生了虚位移,那么外力做的虚功是：

现在来看内力做的虚功。令 [公式] 表示质点j对于质点i的作用力，为变形前质点j相对于i的位置向量，为质点i和j在虚位移变形后的相对位置变化向量。那么内力做的虚功为：

对于刚体，由于任意两质点的相对位置恒定，所以 [公式] 为0。但如果质点系内有两个质点由弹簧相连，那么就不为0。

对于离散质点系，虚功原理表述为：当且仅当时，系统处于平衡。

最后我们来看最重要的可变形连续介质的虚功原理描述。
对于一个受体力（body force）和surface traction的三维弹性体，其平衡方程为：
[公式]
(注：，因为i=1,2,3,所以一共有三个方程分别代表三个方向上的平衡。为了方便以下均用index notation)

traction的边界条件为：
[公式]

平衡方程在整个区域 [公式] 内的所有点上都满足，边界条件在整个边界上的所有点上都满足。假定我们给物体在x,y,z三个方向上分别施加虚位移。现在我们将平衡方程和边界条件的式子和虚位移相乘并在相应区域上积分，再相加可以得到：

上式等于0是因为括号里的项在积分区域里的每一点上都等于0，那么将它乘以一个任意项（虚位移任意）依然等于0，所以积分也为0。

然后我们使用分部积分:
[公式]

再由Cauchy's relationship,得到：
[公式]

然后是应变-位移关系：
[公式]

所以:
[公式]
(注：因为对称，而是反对称，所以两者相乘为零，因此)

将上述三式带入总方程，可得到：
[公式]

等式的左边是内力做的虚功(internal virtual work)，右边是外力做的虚功（external virtual work）

所以对于连续变形介质，虚功原理的表述是：对应于所有允许的任意虚位移场，如果内应力做的虚功等于外力做的虚功，那么该物体处于平衡状态。用公式表示为：
[公式]

另外补充一点，虚功原理也适用于非保守系统，所以不仅适用于弹性变形，也适用于塑性变形。

至于虚力原理，不同于虚位移原理中是对位移和应变场进行变分，它是对力和应力场进行变分。一个应用就是Castigliano theorem求解某个节点的位移。即先写出整个结构的能量，再对能量对于待求节点上的力进行偏微分，得到的就是在该力方向上这个节点的位移。

编辑于 2016-10-07

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抱歉，我是学数学和物理的，不是学工程的。下面的说法比较理论，见谅。

力学第一性原理（或力学最高原理），就是可以由他导出全部力学定律的原理或假设。其在力学之中的地位相当于几何学之中的公理。什么原理可以作为 力学第一性原理呢？
牛顿运动3定律
达朗伯原理（又称动力学虚位移原理，或动力学普遍方程）
在静力学情况下是虚位移原理或虚功原理
Lagrange方程
正则方程
哈密顿原理（这是一种变分原理）
以上原理中的任何一个都可以作为 力学的第一性原理，因为它们是相互等价的。

---引用自《分析力学辅助讲义》---清华大学物理学编写---清华校内教材中心有