x & (x - 1)==0

判断一个整数x是否是2的N次方。

　　方法之一是判断x & (x - 1)==0。若为True，则x是2的N次方；若为False，则x不是2的N次方。

　　有人质疑，他证明了“2的n次方一定符合这个条件”， 却并没有证明“符合这个条件的一定是2的n次方”呀！更没有证明“不符合条件的一定不是2的n次方”呀。

　　

　　现在，从两个方面来证明这个方法的正确性

　　证明之前，先给出一些定义

　　&运算的定义：A & B 表示将A和B转化为二进制，然后按照对位&运算。

　　例如：17 & 9

　　　　10001₂　　=17₁₀

　　&　    101₂ =9₁₀

　　------------------------

　　　　00001₂ =1₁₀

　　而对位&运算的定义如下：

　　1 & 1=1　　；　　1 & 0=0　　；　　0 & 1=0　　；　　0 & 0=0

　　对位&运算还有如下性质：

　　A & 1=A　　；　　A & 0=0　　；　　A & A=A　　；　　A & B=B & A　　此时：A，B=0或1

　　

　　定义：

　　X=x₁x₂……x_n-1x_n，其中x_i=1或0，1≤i≤n，n>0。显然X>0（当X≤0，没有讨论的意义）

　　给定正整数X，X是2的N次方的充要条件是X转化成二进制后，有且只能有一个1，其余的都是0

　　也就是说，若X是2的N次方，则x₁=1，x₂=……=x_n-1=x_n=0

　　　　　　　若X不是2的N次方，则至少存在一个j，x_j=1，1<j≤n

　　

　　先证明“2的N次方符合X & (X - 1)==0条件”

　　当X=1时，1 & 0 =0，满足条件

　　当X>1时，且X是2的N次方

　　如定义：X=100……0　　（n-1个0，n>1）

　　　　　　X-1=11……1　　（n-1个1，n>1）

　　则X & X-1是

　　　　　100……0₂　　=X₁₀

　　&　   　11……1₂=X-1₁₀

　　------------------------

　　　　　　00……0₂=0₁₀

 

　　满足条件　

 

　　再证明“不是2的N次方不符合X & (X - 1)==0条件”

　　分两种情况，

　　1、X是奇数，则X=x₁x₂……x_n-1x_n，x₁=x_n=1，故X=1x₁x₂……x_n-11

　　　　则X-1=1x₂……x_n-10

　　　　则X & X-1是

　　　　　1x₂x₃……x_n-11₂　　=X₁₀

　　&　    1x₂x₃……x_n-10₂=X-1₁₀

　　------------------------------------

　　　　　1x₂x₃……x_n-10₂ ≠0₁₀

 　　　　不满足X & (X - 1)==0的条件

　　2、X是偶数，则X=x₁x₂……x_n-1x_n，x₁=1，x_n=0

　　　　由于X不是2的N次方，因此x₁，x₂……x_n-1中至少有两个为1。设x_j是最右边的1

　　　　则X=1x₂……x_j-1x_j0……0=1x₂……x_j-110……0 　　1<j<n，最右边有n-j个0

　　　　则X-1=1x₂……x_j-101……1　　　　　　　　　　　1<j<n，最右边有n-j个1

　　　　则X & X-1

　　　　　1x₂……x_j-110……0₂　　=X₁₀

　　&　    1x₂……x_j-101……1₂=X-1₁₀

　　--------------------------------------

　　　　　1x₂……x_j-100……0₂ ≠0₁₀

　　　　不满足X & (X - 1)==0的条件　　

　　综上所述，当X不是2的N次方的时候，是不满足X & (X - 1)==0的条件的

 

　　因此，当X是2的N次方的时候X & (X - 1)==0成立，当X不是2的N次方的时候X & (X - 1)==0不成立。

 

　　故判断X（X>0）是否是2的N次方的方法，判断X & (X - 1)==0是否成立，是可行的。

算法的强大——快速计算一个正二进制整数中包含多少个1

　原题：一个正整数，转成二进制后，这个二进制数包含多少个1？

　　这个问题在网上看过多次，几番思考，也没有什么好的办法。采用最基本的办法，逐位判断，是1的统计加1，最后将统计数返回。

　　以下是这个思路的VB2008代码，不失一般性，将正整数的范围控制在（1~2³¹-1）

　　Private Function GetCount1OfValue(ByVal Value As Integer) As Integer
　　　　Dim i As Integer, Count As Integer = 0
　　　　For i = 0 To 30
　　　　　　If (Value And 2 ^ i) = 2 ^ i Then Count += 1
　　　　Next
　　　　Return Count
　　End Function

 

　　但是近日，在网上发现一个很巧妙的算法，能够快速实现上述的计算功能。代码贴于下方

　　Private Function GetCount1OfValue(ByVal Value As Integer) As Integer　　

　　　　Dim Count As Integer = 0

　　　　Do While Value > 0

　　　　　　Value = Value And (Value - 1)

　　　　　　Count +=1

　　　　Loop

　　　　Return Count

　　End Function

 

　　这段代码的精髓就是在这一句：Value = Value And (Value - 1)

　　曾经用过类似语句的在我的博客“判断是否是2的N次方——证明x & (x - 1)==0的正确性”

　　那么这句语句到底起到什么作用呢？看下面的分析

　　假设Value=X₁X₂……X_n-1X_n，其中X_i(1≤i≤n)为1或0

　　不妨设X_i是最右边的1，那么Value就可以写成如下的形式

　　Value=X₁X₂……X_i-1X_i0……0，其中(1≤i≤n)，X_i后面有n-i个0

　　因为X_i=1，所以Value=X₁X₂……X_i-110……0，其中(1≤i≤n)，1后面有n-i个0

　　则Value-1=X₁X₂……X_i-101……1，其中(1≤i≤n)，0后面有n-i个1

　　则Value And (Value-1)=X₁X₂……X_i-100……0，其中(1≤i≤n)，X_i-1后面有n-i+1个0

　　

　　因此，Value And (Value-1)的效果把最右边的1变成0

　　在上面的代码中，每把最右边的1变成0，则统计数加1，直到所有的1变成0为止。

 

　　这两个算法，第一个算法的循环次数是固定的，是31次，无论数值是多少（必须在范围之内）。而第二个算法和Value中的1的个数有关，循环的次数就是1的个数，可见该算法之妙。