聚类评估算法-轮廓系数(Silhouette Coefficient )

轮廓系数是一种评估聚类效果的方法,结合了内聚度和分离度两种因素。通过计算样本到同簇其他样本的平均距离及到最近簇的平均距离来定义轮廓系数。其值接近1表明聚类合理,接近-1表明样本应分类到其他簇。

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轮廓系数(Silhouette Coefficient),是聚类效果好坏的一种评价方式。最早由 Peter J. Rousseeuw 在 1986 提出。它结合内聚度和分离度两种因素。可以用来在相同原始数据的基础上用来评价不同算法、或者算法不同运行方式对聚类结果所产生的影响。

         方法:

                  1,计算样本i到同簇其他样本的平均距离ai。ai 越小,说明样本i越应该被聚类到该簇。将ai 称为样本i的簇内不相似度

                            簇C中所有样本的a i 均值称为簇C的簇不相似度。

                  2,计算样本i到其他某簇Cj 的所有样本的平均距离bij,称为样本i与簇Cj 的不相似度。定义为样本i的簇间不相似度:bi =min{bi1, bi2, ..., bik}

                            bi越大,说明样本i越不属于其他簇。

                   3,根据样本i的簇内不相似度a i 和簇间不相似度b i ,定义样本i的轮廓系数

                   4,判断:

                            si接近1,则说明样本i聚类合理;

                            si接近-1,则说明样本i更应该分类到另外的簇;

                            若si 近似为0,则说明样本i在两个簇的边界上。

 

         所有样本的s i 的均值称为聚类结果的轮廓系数,是该聚类是否合理、有效的度量。

### 密度聚类算法中的轮廓系数 对于密度聚类算法而言,轮廓系数是一个用于衡量样本集划分合理性的内部评价指标。该系数综合考虑了簇内相似性和簇间差异性来评估聚类的效果。 #### 定义与解释 具体来说,轮廓系数 \( s(i) \) 对于单个数据点 \( i \),定义如下: \[ a(i)=\frac{1}{|A_i|-1}\sum_{j\in A_i,j\neq i}d(i, j)\] 其中 \( d(i, j) \) 表示两个对象之间的距离;\( |A_i|\ ) 是指属于同一个类别内的其他成员数量[^1]。这代表的是平均簇内不相似度,即给定的数据点到同一簇中其它所有点的距离均值。 而最近邻簇外最小平均距离 b(i): \[b(i)=\min _{C_j \neq C_i}(\frac{\sum_{k=0}^{|C_j|} dist(x_k,x)} {|C_j|})\] 这里 \( C_j \) 不等于当前所属簇 \( C_i \)[^2]。它表示某个特定外部集群中最接近目标个体的一组元素间的平均相异程度。 最后计算得到的轮廓系数为: \[s(i)=(b(i)-a(i))/max(a(i),b(i))\] 当这个比率趋近于 +1 时意味着分类良好;如果接近零,则表明可能被错误分配到了相邻群组里;负数则暗示着更糟糕的情况——应该归属于另一侧而非现在的位置[^3]。 #### Python 实现代码 下面是一段简单的Python实现,可以用来计算一组已知标签的数据集中每个样本对应的轮廓系数并返回整体得分。 ```python from sklearn.metrics import silhouette_score import numpy as np def calculate_silhouette(X, labels): """ X : array-like of shape (n_samples_a, n_features) Feature space. labels : array-like of int or str Predicted labels for each sample. Returns the mean Silhouette Coefficient over all samples. """ score = silhouette_score(X, labels) return score if __name__ == "__main__": # Example usage with dummy data points and their cluster assignments X = [[1., 2.], [5., 8.], ... ] # Replace ellipsis (...) with actual values labels = ['cluster_1', 'cluster_2'] * 4 result = calculate_silhouette(np.array(X), labels) print(f"The average silhouette score is {result:.3f}") ```
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