常用-拉普拉斯变换

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时间函数 f(t)拉斯变换函数f(s)时间函数 f(t)拉斯变换函数 f(s)
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### 拉普拉斯变换常用公式及详细推导 #### 定义与基本性质 拉普拉斯变换是一种用于解决线性常微分方程的重要工具,其定义为: \[ F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} dt \] 其中 \(s\) 是复变量。该积分形式表明拉普拉斯变换将时间域中的函数映射到频率域中的表示[^2]。 #### 线性特性 拉普拉斯变换具有线性特性,即如果存在两个函数 \(f_1(t)\) 和 \(f_2(t)\),以及对应的拉普拉斯变换分别为 \(F_1(s)\) 和 \(F_2(s)\),则有: \[ a F_1(s) + b F_2(s) = L[a f_1(t) + b f_2(t)] \] 这说明拉普拉斯变换满足叠加原理。 #### 卷积定理 卷积的拉普拉斯变换是一个重要性质,它能够简化复杂系统的分析。对于两个函数 \(f(t)\) 和 \(g(t)\),它们的卷积定义为: \[ (f * g)(t) = \int_{0}^{t} f(\tau)g(t-\tau)d\tau \] 而相应的拉普拉斯变换为两者的乘积: \[ L[(f*g)(t)] = F(s)G(s) \] 这一性质使得在频域中处理复杂的时域信号变得更为简单。 #### 推导实例:单位阶跃函数 考虑单位阶跃函数 \(u(t)\),它的定义如下: \[ u(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ 1, & t \geq 0 \end{cases} \] 对其进行拉普拉斯变换计算得: \[ U(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st}dt = \left[-\frac{e^{-st}}{s}\right]^{\infty}_{0} = \frac{1}{s}, \quad s > 0 \] #### 实际应用案例 给定一个具体表达式 \(f(t)=4e^{-t}-2t^2e^{-2t}-4te^{-2t}-4e^{-2t}\)[^3],可以通过逐项求解各部分的拉普拉斯变换来得到最终结果。例如,\(4e^{-t}\) 的拉普拉斯变换可以直接由标准表查得为 \(\frac{4}{s+1}\);而对于其他更复杂的项,则需运用指数位移法则和幂次规则进一步分解并完成转换[^1]。 ```python from sympy import symbols, laplace_transform, exp # Define variables t, s = symbols('t s') # Function definition based on given expression function_expr = 4*exp(-t) - 2*(t**2)*exp(-2*t) - 4*t*exp(-2*t) - 4*exp(-2*t) # Perform Laplace Transform using SymPy library laplace_result = laplace_transform(function_expr, t, s) print(laplace_result) ``` 上述代码展示了如何通过 Python 中 `sympy` 库实现自动化的拉普拉斯变换操作。 ---
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