浅谈拓扑排序-优快云博客

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背景：

由于学不明白，因此学的时候写一篇助自己理解or回忆的。。。

拓扑排序：

定义：

拓扑排序（Topological sorting）要解决的是如何给一个 DAG（有向无环图）的所有节点排序。
如果这个图中出现或存在环路，那我们没办法进行拓扑排序。
如果从 $i$ 到 $j$ 有边，则认为 $j$ 依赖于 $i$ 。如果说 $i$ 能到达 $j$ ，则认为 $j$ 间接依赖于 $i$ 。
所以拓扑排序目标将所有结点排序，使得排在前面的结点不能依赖于后面的结点。

AOV网和AOE网：

举个例子 ：生活中的一项大的工程可以看作是由多个子工程组成，这些子工程之间必定有先后联系，即一些工程必须在其他一些工程完成后才能开始：这就是AOV网所能实现的。再比如我现在要知道工程完成的总时间，那么AOE网就可以实现这个。具体展开可以参考下面的网站。拓扑排序 - OI Wiki (oi-wiki.org)

Kahn算法：

图 $G=(V,E)$ 时间复杂度： $O(E+V)$

主要就是搞清楚怎么去找起点，怎么删边就可以了，代码如下：

int n, m;
vector<int> G[MAXN];
int in[MAXN];  // 存储每个结点的入度

bool toposort() {
  vector<int> L;
  queue<int> S;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    if (in[i] == 0) S.push(i);
  while (!S.empty()) {
    int u = S.front();
    S.pop();
    L.push_back(u);
    for (auto v : G[u]) {
      if (--in[v] == 0) {
        S.push(v);
      }
    }
  }
  if (L.size() == n) {
    for (auto i : L) cout << i << ' ';
    return true;
  }
  return false;
}

Q:有一个点：那如果你现在不知道图是不是DAG的时候，怎么办？

A:其实可以在每次循环的时候，也就是在 $push(i)$ 的地方每次统计一下入队的结点数，如果发现统计的 $num$ 比总结点数要少，那就证明这是一个有环图，有些题目是这样出的。