两篇题解——理想的正方形deepseek做法

嗯，这道题看起来是要找一个n×n的正方形区域，使得该区域内最大值和最小值的差最小。那我得仔细看看题目要求。题目给了一个a×b的矩阵，要从中找出所有可能的n×n正方形，然后计算每个这样的正方形的max-min，最后取所有中的最小值。

首先，我得想到怎么高效地计算每个n×n窗口的最大和最小值。因为直接遍历每个窗口然后找最大和最小的话，时间复杂度会很高。比如a和b都是1000的话，n是100的话，这样的窗口数量大概是(1000-100+1)^2 = 901901≈81万，每个窗口需要100100=1万次比较，总的时间复杂度是81万*1万=81亿次操作，这肯定会超时。

所以，必须得找一个更高效的方法。这时候，可能想到用单调队列。单调队列在滑动窗口问题中常用，可以快速维护窗口内的最大值或最小值。那如何将二维的问题转化为一维的问题呢？

通常的做法是先对每一行用单调队列处理，得到每个位置向右n个元素的最大和最小值，这样每个行的每个窗口的横向极值就处理好了。然后，再对列进行处理，将纵向的n个行的极值再次用单调队列处理，得到最终的二维窗口的极值。

具体来说，比如对于每一行，我们可以预处理出每个位置j的向右n长度的窗口的最大值和最小值，保存下来。这样，对于每个行来说，处理完后，每个位置的横向窗口极值被记录下来。然后，对于每一列，我们处理这些极值数组，纵向的n长度的窗口的最大和最小值。这样，每个二维窗口的极值就是纵向处理后的结果。这样就能得到每个n×n窗口的max和min，然后计算差值，取最小即可。

那具体怎么实现呢？比如，假设原矩阵是g[a][b]，首先对每一行，预处理出每行的滑动窗口最大和最小。这一步可以用单调队列。比如，对于行i，得到两个数组rmax[i][j]和rmin[i][j]，表示在i行中，以j为左端点（或者右端点，这要看窗口的方向）的n长度的窗口的最大和最小值。这里需要注意的是，当处理行的时候，每个窗口的长度是n，所以每个行的处理后的数组长度应该是b - n + 1吗？或者说，每个位置j在行i中的横向窗口的最大值会被存储到rmax[i][j]，其中j的范围可能从0到b-n的位置？

假设原矩阵的行数是a，列是b，n是窗口边长。对于每一行来说，处理后的横向窗口的列数是b - n +1。例如，行有b个元素，每个窗口起始位置是0到b-n的位置，所以总共有b-n+1个窗口。因此，rmax和rmin的行数还是a，但列数是b-n+1吗？

或者，可能更简单的处理方式是，每个位置的横向窗口的最大值被保存到同一行中的相应位置。比如，对于原矩阵中的每个元素g[i][j]，如果在该行中，以j为右端点的窗口的最大值被保存到rmax[i][j]。那么，当处理完所有行之后，每个行的每个位置j的rmax[i][j]是包含该位置在内向左n个元素的最大值？或者向右？

这里需要明确窗口的移动方向。例如，对于每一行来说，窗口是向右移动的。所以，当处理每一行的时候，我们使用单调队列维护当前窗口的最大值。窗口的右端是当前元素的位置j。当窗口的大小超过n时，就需要将队首的元素弹出。这样，对于每个j，窗口的左端是j -n +1的位置。例如，当j >=n-1时，窗口的有效位置是[j-n+1, j]，所以对于每个i，处理到j的位置时，当j >=n-1时，可以记录该窗口的最大值到rmax[i][j -n +1]的位置？

或者，可能更直接的方式是，对于每一行i，预处理出每一列j的窗口（从j到j+n-1）的最大值。但是这样的话，当j +n -1超过b-1时，就无法处理。所以正确的做法是，对每一行i，处理每个可能的窗口的起始列j，然后得到该窗口的最大和最小值，保存在rmax[i][j]和rmin[i][j]中。其中j的范围是0 <=j <=b-n。这时候，对于每一行来说，处理后的列数变为b-n+1。

这可能比较复杂。那如何用单调队列处理每一行呢？例如，假设当前处理行i，那么对于该行的每个元素，维护一个单调递减队列，当窗口滑动时，队列中的元素是可能的最大值的候选。这样，当窗口右移时，队列中保存的是当前窗口中的元素的下标，且对应的值是递减的。这样，每个窗口的最大值就是队首元素的值。同样的，最小值可以用单调递增队列来处理。

那么，对每一行处理之后，得到的rmax和rmin数组的列数是b -n +1。例如，原矩阵的列数是b，处理后每个行i对应的列数是b -n +1。然后，接下来处理列的时候，对于每一列j，在rmax数组的这一列j上，处理每一行的窗口，得到每个位置i的纵向窗口的最大值。这样，最终每个n×n窗口的最大值就是两次处理后的结果。

例如，假设原矩阵是a行b列，n是窗口的边长。首先，对每一行进行横向处理，得到rmax的每个行的列数是b-n+1。所以，处理后的rmax数组是a行，(b-n+1)列。然后，对rmax的每一列进行处理，纵向处理长度为n的窗口，得到每个位置的最大值。这样，最终的二维窗口的最大值数组的行数是a-n+1，列数是b-n+1。同理，最小值数组也是如此处理。然后，遍历所有这样的位置，计算max - min，找出其中的最小值。

所以，整个过程的时间复杂度应该是O(a*b)（每一行的处理是O(b)，共a行；然后对每一列的处理是O(a) * (b-n+1)列，所以总的时间复杂度是O(ab + a(b-n+1)) )=O(ab)。对于a和b都是1000的话，这样的复杂度是可以接受的。

那现在的问题是如何具体实现这个过程。例如，在C++中，如何处理这些二维数组？

可能的实现步骤：

1. 输入a, b, n，然后读入a行，每行b个数，保存到g数组中。

2. 预处理每一行的横向窗口的最大和最小值，得到rmax和rmin数组。这两个数组的行数是a，列数是b -n +1。

3. 预处理每一列的纵向窗口的最大和最小值。对于每一列j，在rmax数组中，这一列的所有行的数据形成一个列向量，对其进行纵向窗口处理，得到最终的每个二维窗口的最大值。同样的，对rmin进行处理，得到每个二维窗口的最小值。

4. 遍历所有可能的二维窗口的位置，计算max - min，找到最小的那个差值。

具体来说，如何对每一行处理横向窗口的最大和最小值？

例如，对于一行来说，假设该行的元素是row[0…b-1]。我们需要找到每个起始位置为j的窗口的最大值，其中窗口长度为n，j的范围是0 <=j <=b-n。

这可以通过单调队列来实现。例如，维护一个双端队列deque，保存的是当前窗口内的元素的下标，且对应的元素值单调递减。当处理到元素i时：

• 如果队列中的队首元素的下标小于等于i -n，则弹出队首（因为窗口已经移动，这些元素已经不在当前窗口内）。

• 然后，将当前元素i与队列尾部元素比较，如果当前元素大于等于尾部元素对应的值，则弹出尾部，直到队列为空或者遇到比当前元素大的元素。然后将i加入队列尾部。

• 当i >=n-1时，窗口形成，此时队首元素对应的值就是当前窗口的最大值。

这样，对于每一行来说，处理的时间是O(b)，每个元素进出队列一次。

同样的，对于最小值处理，维护一个单调递增的队列。

这样，处理每一行的横向窗口的时间是O(b)。处理所有行的横向窗口的时间是O(ab)。

接下来，处理纵向窗口。假设我们现在有一个数组col_max，其行数是a，列数是b-n+1。我们需要对每一列进行处理，每个列的长度是a，需要处理每个纵向窗口的长度为n的窗口的最大值。例如，对于每一列j，处理所有可能的窗口，得到每个窗口的最大值，保存到最终的max_val数组中。这同样可以用单调队列，处理每一列的时间是O(a)，总共有（b-n+1）列，所以总的时间是O(a*(b-n+1)))，因为当a=1000，b=1000，n=100时，b-n+1=901，所以总时间大概是1000*901=约9e5次操作，这应该是可以接受的。

同样的，对rmin数组进行纵向处理，得到每个二维窗口的最小值。

最后，遍历所有可能的二维窗口的位置，计算对应的max_val[i][j] - min_val[i][j]，并找出最小值。

综上，这就是使用两次单调队列处理的方法：第一次处理行，第二次处理列。这样，整个问题的时间复杂度是线性的，可以应对题目中的最大数据范围。

那现在需要考虑代码的具体实现。例如，如何存储原始矩阵？如何预处理行，然后列？

假设在C++中，原始矩阵存储为一个二维数组，比如vector<vector> g(a, vector(b))。

然后，预处理每一行的横向窗口的max和min，得到两个二维数组rmax和rmin。它们的行数是a，列数是b -n +1。

然后，预处理每一列的纵向窗口的max和min，得到最终的二维数组max_dp和min_dp，它们的行数是a -n +1，列数是b -n +1。每个元素对应原矩阵中的n×n窗口的max和min。

最后，遍历max_dp和min_dp中的每个元素，计算差值，找到最小值。

那么，如何实现行的预处理？

举个例子，处理行的横向窗口的max：

对于每一行i，遍历该行的每个元素j：

维护一个deque，保存当前窗口内可能成为最大值的元素的下标。窗口的范围是[j -n +1, j]。

比如，当处理到元素j时，窗口的左端是j -n +1。所以，当队列的头部元素的下标小于j -n +1时，需要弹出。

然后，将当前元素j的值与队列尾部的元素比较，如果当前元素更大，则弹出尾部。循环直到队列为空或者遇到更大的元素。

然后将j加入队列。

当j >=n-1时，说明窗口已经形成，此时的队首元素对应的值就是该窗口的最大值。将该值存入rmax[i][j -n +1]的位置？或者，假设rmax的行数与原矩阵相同，但每行只有b -n +1个元素？

或者，可能更直观的是，当处理完每一行之后，该行的横向窗口的max数组的长度是b -n +1。例如，对于行i，rmax[i]的长度是b -n +1，每个元素对应一个起始位置j的窗口的最大值。

或者，在代码实现中，对于每一行i，先处理得到该行的横向窗口的max数组，然后保存到rmax[i]中。例如：

vector<vector> rmax(a, vector(b -n +1));

同样的，rmin也是如此。

所以，对于每一行i，生成对应的rmax[i]数组的过程：

初始化一个deque，然后遍历该行的每个元素j（从0到b-1）。

当j >=n-1时，可以开始记录窗口的最大值。此时窗口的起始位置是j -n +1，对应到rmax[i]中的位置是j -n +1，即rmax[i][j -n +1] = row[deque.front()].

或者，假设每个窗口的起始位置是k，那么k的范围是0 <=k <=b-n。对应的结束位置是k +n -1。

因此，当处理到元素j=k +n -1时，窗口k的结束位置是j，此时可以记录最大值到rmax[i][k]。这样，对于每个k，j的范围是从0到b-1，当k +n-1 ==j时，处理窗口k的最大值。

所以，这可能需要循环每个k，或者在处理元素j时，当j >=n-1时，对应的k=j -n +1。因此，在处理j时，如果j >=n-1，那么k的取值范围是0到j-n+1，这可能吗？

可能更简单的方法是，当处理到每个j时，维护一个窗口，窗口的右端是j，窗口的长度是n。因此，窗口的有效条件是从j -n +1到j的区间。当j >=n-1时，窗口有效。此时，队列中的头元素就是该窗口的最大值，所以可以将该值保存到rmax[i][j -n +1]。

例如，在处理行i时：

deque q;

for(int j=0; j <b; j++){

// 移除队列中不在窗口内的元素的下标

while(!q.empty() && q.front() <= j -n){

    q.pop_front();

}

// 维护单调递减队列

while(!q.empty() && row[j] >= row[q.back()]){

    q.pop_back();

}

q.push_back(j);

// 当j >=n-1时，可以记录当前窗口的最大值

if(j >=n-1){

    rmax[i][j -n +1] = row[q.front()];

}

}

这样，对于每一行i来说，处理完成后，rmax[i]的长度是b -n +1，每个元素对应起始位置k=j-n+1的窗口的最大值。

同样的，处理rmin[i]的时候，维护单调递增队列。

这样，行的处理就完成了。

然后，处理列的时候，对于每个列j（这里的j指的是横向处理后的列，即原列数经过横向处理后的列数为cols =b-n+1），处理每个列j的纵向窗口。

同样的，纵向窗口的长度是n。例如，对于列j，处理每个行i的rmax[i][j]，维护一个纵向窗口的最大值。

此时，纵向窗口的处理方式与横向类似，但处理的是列数据。例如，对于每个列j，在rmax数组的该列中，行的数量是a，需要处理每个可能的纵向窗口的最大值，保存到max_dp数组中。

所以，处理列j时：

初始化一个deque，遍历行i从0到a-1。

对于每个i，维护一个窗口，窗口大小为n，当i >=n-1时，窗口的有效位置是i-n+1到i，此时记录该窗口的最大值到max_dp[i-n+1][j]中。

同样的，处理列j的每个元素i：

max_dp的行数是a -n +1，列数是cols =b -n +1.

所以，处理列j的代码大致如下：

vector<vector> max_dp(a -n +1, vector(cols));

for(int j=0; j <cols; j++){

deque<int> q;

for(int i=0; i <a; i++){

    while(!q.empty() && q.front() <= i -n){

        q.pop_front();

    }

    while(!q.empty() && rmax[i][j] >= rmax[q.back()][j]){

        q.pop_back();

    }

    q.push_back(i);

    if(i >=n-1){

        max_dp[i -n +1][j] = rmax[q.front()][j];

    }

}

}

同样的，处理rmin得到min_dp。

最后，遍历max_dp和min_dp的所有元素，计算差值，找到最小值。

这样，整个问题就解决了。

那在代码实现中，需要注意的问题：

1. 矩阵的行和列的索引是否正确处理。

2. 处理横向和纵向时的窗口范围是否正确。

3. 内存是否足够。例如，当a和b都是1000的时候，rmax和rmin的每个行是1000-100+1=901列，所以每个数组的大小是1000*901=约9e5，这在C++中是可行的。

此外，输入的数值可能很大，但比较的时候不需要担心溢出，因为都是整数比较。

现在，测试样例的输入：

输入样例1：

5 4 2

1 2 5 6

0 17 16 0

16 17 2 1

2 10 2 1

1 2 2 2

输出的结果是1。

我们可以手工验证一下。例如，在输入样例中，a=5，b=4，n=2。所以，每个可能的2x2窗口的max-min的最小差是1。比如，原矩阵中的某个窗口的最大和最小值相差1。

现在，让我们看看如何处理这个样例：

原矩阵是5行4列：

第一行：1 2 5 6

第二行：0 17 16 0

第三行：16 17 2 1

第四行：2 10 2 1

第五行：1 2 2 2

处理行横向窗口的max和min：

对于每一行，每个窗口长度为2。

比如，第一行的横向窗口：

窗口0-1：最大值是2，5，6？或者原行是1,2,5,6。那么每个横向窗口是：

窗口0: [1,2] → max=2，min=1

窗口1: [2,5] → max=5，min=2

窗口2: [5,6] → max=6，min=5 → 所以rmax[0] = [2,5,6], rmin[0] = [1,2,5]

其他行同理。例如，第二行：

0,17,16,0 → 窗口0:0,17 → max17，min0；窗口1:17,16 → max17，min16；窗口2:16,0 → max16，min0 →所以rmax[1]是17,17,16；rmin[1]是0,16,0。

然后，处理列，比如，对rmax的每一列进行纵向窗口处理。例如，假设对于rmax的第一列：

各行的值分别是2（第一行）、17（第二行）、17（第三行）、10（第四行）、2（第五行）。

当处理纵向窗口大小为2时，窗口的max如下：

窗口0:2和17 →max17

窗口1:17和17 →max17

窗口2:17和10 →max17

窗口3:10和2 →max10

所以，max_dp的第一列是17,17,17,10。然后对应的min_dp中的同一列是各行的rmin中的该列的最小值？

例如，rmin的第一列是第一行的1，第二行的0，第三行的16，第四行的2，第五行的1。纵向窗口处理后的min：

窗口0:1和0 → min0

窗口1:0和16 →min0

窗口2:16和2 →min2

窗口3:2和1 →min1

所以，对于每个窗口，max和min的差是：

比如窗口0的max17，min0，差17-0=17；窗口1的max17，min0，差17；窗口2的max17，min2 →15；窗口3的max10，min1 →9. 但是可能其他列会有更小的差。

比如，假设某列中的max和min的差是1，例如，当max和min相差1的时候。

比如，看样例的输出是1，可能是在某个窗口中，max和min的差为1。例如，在第三行的某个窗口，比如第三行原矩阵的窗口是17和2，最大值17，最小值2。但经过处理后，可能纵向窗口处理后的结果是某个差为1的情况。

需要更详细的分析。

不过，通过代码的正确处理，可以正确得到结果。

综上，代码的大体思路是正确的。接下来需要编写C++代码实现这一思路。需要注意的是数组的大小，以及正确处理行和列的处理顺序。

现在，关于代码的结构：

1. 输入a,b,n。

2. 读取矩阵。

3. 预处理每一行的横向max和min，得到rmax和rmin。

4. 预处理每一列的纵向max和min，得到max_dp和min_dp。

5. 遍历所有max_dp和min_dp的元素，计算差值，取最小。

代码实现的关键点在于正确使用单调队列处理行和列。

现在，编写代码的大体步骤：

在C++中，输入可能较大，可以使用快速读取的方式。但是根据题目中的输入样例，每个数之间用空格分隔，可以用cin或scanf读取。

首先，定义二维数组保存原始矩阵：

int a, b, n;

cin >>a >>b >>n;

vector<vector> g(a, vector(b));

for(int i=0; i <a; i++){

for(int j=0; j <b; j++){

    cin >>g[i][j];

}

}

然后，处理每一行的横向窗口：

int cols = b -n +1;

vector<vector> rmax(a, vector(cols));

vector<vector> rmin(a, vector(cols));

for(int i=0; i <a; i++){

deque<int> q_max, q_min;

for(int j=0; j <b; j++){

    // 处理max队列

    while(!q_max.empty() && j - q_max.front() >=n){

        q_max.pop_front();

    }

    while(!q_max.empty() && g[i][j] >= g[i][q_max.back()]){

        q_max.pop_back();

    }

    q_max.push_back(j);

    // 处理min队列

    while(!q_min.empty() && j - q_min.front() >=n){

        q_min.pop_front();

    }

    while(!q_min.empty() && g[i][j] <= g[i][q_min.back()]){

        q_min.pop_back();

    }

    q_min.push_back(j);

    // 当j >=n-1时，可以记录结果

    if(j >=n-1){

        int index = j -n +1;

        rmax[i][index] = g[i][q_max.front()];

        rmin[i][index] = g[i][q_min.front()];

    }

}

}

这里需要注意，窗口的条件是当前元素j是否达到了窗口的右端。例如，当窗口的长度是n时，当j >=n-1时，窗口的左端是j-n+1，右端是j。这时候可以记录该窗口的最大和最小值。

这样处理后，rmax和rmin的每个行的列数是cols =b-n+1。

接下来，处理列的纵向窗口。例如，max_dp的行数是a-n+1，列数是cols。

int rows_final = a -n +1;

vector<vector> max_dp(rows_final, vector(cols));

vector<vector> min_dp(rows_final, vector(cols));

for(int j=0; j <cols; j++){

deque<int> q_max, q_min;

for(int i=0; i <a; i++){

    // 处理max队列

    while(!q_max.empty() && i - q_max.front() >=n){

        q_max.pop_front();

    }

    while(!q_max.empty() && rmax[i][j] >= rmax[q_max.back()][j]){

        q_max.pop_back();

    }

    q_max.push_back(i);

    // 处理min队列

    while(!q_min.empty() && i - q_min.front() >=n){

        q_min.pop_front();

    }

    while(!q_min.empty() && rmin[i][j] <= rmin[q_min.back()][j]){

        q_min.pop_back();

    }

    q_min.push_back(i);

    // 当i >=n-1时，记录结果

    if(i >=n-1){

        int idx = i -n +1;

        max_dp[idx][j] = rmax[q_max.front()][j];

        min_dp[idx][j] = rmin[q_min.front()][j];

    }

}

}

这里，对于每个列j，遍历所有行i。当i >=n-1时，可以记录纵向窗口的最大和最小值到max_dp和min_dp的相应位置。

最后，遍历所有可能的窗口位置，计算差值：

int ans = INT_MAX;

for(int i=0; i <rows_final; i++){

for(int j=0; j <cols; j++){

    ans = min(ans, max_dp[i][j] - min_dp[i][j]);

}

}

cout <<ans <<endl;

这样，整个代码的结构就完成了。

测试样例的输入是否正确处理？

比如，输入样例中的a=5，b=4，n=2。cols=4-2+1=3。rows_final=5-2+1=4.

处理完行的rmax和rmin后，处理列的max_dp和min_dp，得到4行3列的数组。

然后遍历每个元素，找出最小的差值。

例如，在样例中，可能存在某个窗口的max和min差为1，所以输出1。

综上，这样的代码应该可以正确处理该问题。

需要注意的边界情况：

1. a或b等于n的情况。例如，当a=n时，rows_final=1，同样处理。

2. n=1的情况？但题目中n>=2。根据题目描述，输入保证n<=a, n<=b，并且2<=a,b<=1000，所以n的最小值是2？

或者题目中的输入条件是否允许n=1？题目描述中的输入格式中的n的说明：题目保证n<=a, n<=b，且样例中n=2。而题目中的n的取值可能根据实际情况而变化。例如，原题的数据范围中，n可以是1吗？

但根据题目中的输入描述，输入的n是可能的，比如用户可能给出n=1。但根据题目中的说明，数据范围中n<=a和n<=b，但题目中的输入描述中的n可能大于等于1？

但根据题目的输出要求，输出的正方形区域是n×n，当n=1时，每个元素自己构成一个正方形，此时差为0。这种情况下是否代码能正确处理？

但根据题目中的输入数据范围，题目说明中给出100%的数据中n<=100，而a和b>=2，所以n的可能取值在2到100之间？或者题目中的n的取值范围可能更广？

需要看原题的输入数据范围。根据题目中的说明：

20%的数据：2 <=a,b <=100, n <=a, n <=b, n <=10.

100%的数据：2 <=a,b <=1000, n <=a, n <=b, n <=100.

因此，n的取值范围是1<=n <=a，n<=b？或者题目中的n必须至少是2？

例如，题目描述中的输入格式中，n是3个整数中的第三个，而输出要求的是n×n的正方形。可能n可以等于1？

但根据样例，n=2，所以代码必须处理n>=1的情况。比如，当n=1时，每个单独元素构成窗口，此时每个窗口的max和min都是该元素的值，差为0。所以代码是否能处理这种情况？

例如，当n=1时，cols =b -1 +1 =b，即与原列数相同。行的处理是每个元素的窗口长度为1，所以每个位置的rmax和rmin等于该元素本身。然后，列处理同样是每个元素的窗口长度为1，所以最终的max_dp和min_dp等于rmax和rmin的值。这样，每个元素对应的差是0，所以输出0。这种情况下，代码是正确的。

所以，代码中的处理应该可以正确处理n=1的情况。因此，不需要特别处理n=1的情况。

综上，这段代码应该可以正确解决问题。现在，编写正确的C++代码即可。
要解决这个问题，我们需要找到一个 $n\times n$ 的正方形区域，使得该区域内最大值和最小值的差最小。为了高效处理这个问题，我们可以使用单调队列来优化时间复杂度。

方法思路

1. 横向处理：首先对每一行使用单调队列预处理每个长度为 $n$ 的窗口的最大值和最小值。这一步将二维问题转化为一维问题。
2. 纵向处理：接着对每一列使用单调队列处理预处理后的结果，进一步得到每个 $n\times n$ 正方形的最大值和最小值。
3. 计算结果：遍历所有可能的 $n\times n$ 正方形区域，计算其最大值和最小值的差，找出最小值。