前言
从9.26日上午至9.29日晚上,我和我的老师一直在调试一道题目。
终于,在机房同学的帮助下,历时3天,终于通过了这道题目。
其实,这并非是我第一次尝试通过这题。
8.18日,我从能力全面综合提升题单上找到了这道题。
一直到8.19日,一直在调试这一题。
9.5日,再次返工本题无果。
9.26~9.28,再次返工,通过该题。
P2501 [HAOI2006]数字序列
题目分析略,见题解。
直接给出AC代码,区别于一般的单调栈优化LIS在f中存储值,这份代码中f数组存储下标:
这份代码基本思路参考学委的题解。
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
long long a[35005],b[35005],n;
long long f[35005],g[35005],p[35005];
vector<vector<long long>> v;
long long merge(long long l,long long r,long long x) {
if(l==r) return l;
long long mid=l+r>>1;
if(b[x]<b[f[mid]])
return merge(l,mid,x);
else
return merge(mid+1,r,x);
}
long long pre_l[35005],pre_r[35005];
int main() {
cin>>n;
for(int i=1; i<=n; i++) cin>>a[i];
for(int i=1; i<=n; i++) b[i]=a[i]-i;
for(int i=0; i<=n+1; i++)
v.push_back(vector<long long>{});
long long top=0;
b[0]=-1e14;
b[n+1]=1e14;
for(long long i=1; i<=n+1; i++)
if(!top||b[f[top]]<=b[i]) {
f[++top]=i;
p[i]=top;
v[top].push_back(i);
} else {
int temp=merge(1,top,i);
f[temp]=i;
p[i]=temp;
v[temp].push_back(i);
}
for(auto&i:g) i=1e14;
v[0].push_back(0);
g[0]=0;
for(int r=1;r<=n+1;r++)
for(int l:v[p[r]-1]) {
if(l>r||b[l]>b[r]) continue;
pre_l[l]=0;
for(int i=l+1;i<r;i++)
pre_l[i]=pre_l[i-1]+abs(b[i]-b[l]);
pre_r[r]=0;
for(int i=r-1;i>=l;i--)
pre_r[i]=pre_r[i+1]+abs(b[i]-b[r]);
for(int i=l;i<r;i++)
g[r]=min(g[r],g[l]+pre_l[i]+pre_r[i+1]);
}
cout<<n-(top-1)<<endl;
cout<<g[n+1]<<endl;
return 0;
}
接下来主要说一下我和同学调试题目的时候发现的坑点:
merge函数
其中
if(b[x]<b[f[mid]])
不能写成<=,因为要求最长不下降子序列,所以在构造f数组的过程中,应当将f数组构造为不下降数组,显然用一个数替换一个相等的数,没有用这个数替换比其大的第一个数优。
INF
在确定极大值和极小值时,考虑极限情况,前缀和数组能达到的最大值为 3.5 × 104 × 105 ,所以极大值极小值应当比其更大,比如这里取到±1e14,这时候变量应该开long long。而我一开始选取±1e7作为INF,变量开的也是int,因此只能获得54分。
前缀和数组的初始化
与左边界有关的前缀和数组(pre_l)应当初始化的范围是[l,r)
与右边界有关的前(其实是后)缀和数组(pre_r)应当初始化的范围是(l,r]
因为显然左边界不能被改变,所以相对应的,pre_r数组不应计算到l的位置。pre_l初始化同理。
其次,在初始化pre_r数组时,我的代码和学委的略有不同:
pre_r[r]=0;
for(int i=r-1;i>=l;i--)
pre_r[i]=pre_r[i+1]+abs(b[i]-b[r]);
学委代码:
sumR[i-1] = 0;
for(re int k = i-2; k >= u; --k)
sumR[k] = sumR[k+1] + abs(b[k+1] - b[i]);
可以发现,原因与下面枚举间断点时的转移方式有关,我是这样转移的:
for(int i=l;i<r;i++)
g[r]=min(g[r],g[l]+pre_l[i]+pre_r[i+1]);
学委是这样转移的:
for(re int k = u; k <= i-1; ++k)
f[i] = min(f[i], f[u] + sumL[k] + sumR[k]);
可以发现,学委的sumR[i]从字面上理解,表示的是i这个位置的后缀和,但实际存储的是i+1这个位置的后缀和,为了转移方便,也相应的改变了初始化sumR[i]的方法。
后记
于是皆大欢喜。