96. Unique Binary Search Trees

  首先BST的定义为左子树每个结点小于根结点，右子树每个结点大于根节点。假设序列为[1…n]，最大BST为dp[n],那么我们知道所有的BST为以每个数k(1<=k<=n)作为根节点所得BST数量之和。

  对于某个数k，以其为根的BST数量等于其左子树数量乘以右子树数量，现在讨论对于特定k，其左右子树数量。

  左子树：左子树结点都小于k，很容易知道左子树的最大数量就为dp[k-1]

  右子树：右子树结点大于k,即为[k…n]，这里需要经过变换一下，思考一下我们容易发现BST的数量其实与特定的数值序列无关，而只与其个数有关，比如用[1,2,3]和[4,7,9]所构成的BST数量是一样的。那么右子树的最大数量就为dp[n-k]

class Solution {
public:
	int numTrees(int n) {
		vector<int>dp(n + 1, 0);
		dp[0] = dp[1] = 1;
		for (int i = 2; i < n + 1;++i)
		for (int j = 1; j <= i; ++j)
			dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
		return dp[n];
	}
};