一阶倒立摆系统

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一阶倒立摆系统的控制问题就是通过计算给定直流电机电流大小,即小车运动所需力的大小(控制作用)使摆杆偏角和小车位置(系统输出)能够尽快达到一个平衡点(注意这里有多个控制目标),并使之没有大的振荡和超调。进一步,当系统达到稳定后能克服各种随机扰动(例如人为拨动摆杆使之突然偏离平衡点)而仍能保持稳定运行。

作者:TonnyYan
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来源:简书
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倒立摆系统(Inverted Pendulum System, IPS)是一个典型的复杂、不稳定、非线性、多输入多输出(MIMO)系统,是进行控制理论研究的理想实验平台。

### 关于一阶倒立摆系统的PID控制 #### 建模与仿真环境 一阶倒立摆在MATLAB Simulink平台上建立了仿真模型,并进行了详细的控制分析。该仿真主要集中在PID控制算法的应用上,探讨了参数调整以及系统稳定性的相关问题[^1]。 #### PID控制器的设计 对于如何确定PID控制器的具体参数,在实践中通常会将其转化为一个优化问题来进行求解。这意味着可以通过设定特定的目标函数并利用最优化技术找到最佳的Kp, Ki 和 Kd值来达到理想的动态响应性能[^2]。 #### 状态空间表示法下的实现 在具体编程层面,可以采用状态空间表达方式构建数学模型。下面给出的是用于描述一阶倒立摆的动力学方程的状态矩阵A、输入矩阵B、输出矩阵C及直通项D: ```matlab p = I * (mCart + mPend) + mCart * mPend * L^2; A = [ 0 , 1 , 0 , 0 ; 0 ,(I+mPend*L^2)*b/p,(mPend^2*g*L^2)/p, 0 ; 0 , 0 , 0 , 1 ; 0 ,-((mPend*L*b)/p), ((mPend*g*L)*(mCart+mPend))/p, 0]; B = [0 ;(I+mPend*L^2)/p; 0;mPend*L/p]; C = [1 0 0 0; 0 0 1 0]; D = [0; 0]; states = {'x' 'x_dot' 'phi' 'phi_dot'}; inputs = {'u'}; outputs = {'x'; 'phi'}; sys_ss = ss(A,B,C,D,'statename',states,'inputname',inputs,'outputname',outputs); ``` 这段代码定义了一个线性时不变(LTI)系统`sys_ss`,它包含了四个内部变量(`x`, `x_dot`, `phi`, `phi_dot`)和两个外部观测量(`x`, `phi`),其中`u`代表施加给系统的力作为唯一的输入信号[^4]。 #### 控制效果评估 通过上述建模过程所得到的一阶倒立摆Simulink仿真结果显示,当合理设置好PID调节器的各项系数后,能够有效维持杆件处于竖直位置而不倾覆,证明了这种方法的有效性和可行性。
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