图学习（1）

1、       连通图上各边权值均不相同，则该图的最小生成树是唯一的。

（是自由树，即根结点不确定）

 

2、       用n表示图中顶点数目，e表示边或弧的数目：

（1）        对于无向图，e的取值范围是0~N(N-1)/2;有N(N-1)/2条边的无向图叫完全图。

（2）        对于有向图，e的取值范围0~N(N-1);相应的有N(N-1)条边的有向图叫有向完全图。

（3）        无向图中，对于图中任意两点都是连通的，叫做连通图；连通分量指的是无向图中极大连通子图；

（4）        在有向图中，若对于每一对顶点都存在路径，称图为强连通图。有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量；

 

一颗有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边;

如果一个图有n个顶点和小于n-1条边，则是非连通图；

如果一个图多余n-1条边，则一定有环；

有n-1条边的图不一定是生成树；

 

图的存储结构：

1)邻接矩阵（构造一个具有n个顶点和e条边的无向图的时间复杂度为O(n^2+e*n)）,其中对邻接矩阵初始化耗费O(n^2)、

 

2)邻接表（在建立邻接表或逆邻接表时，若输入的顶点信息即为顶点编号，则建立邻接表的时间复杂度为O(n+e)；否则需要通过查找才能找到顶点在图中的位置，时间复杂度为O(n.e)）、

3）邻接多重表（与邻接表的区别在于同一条边在邻接表中用两个结点表示，而在邻接多重表中只有一个结点）、

4）十字链表（与建立邻接表相同的时间复杂度）。

 

遍历图的实质是对每个顶点查找器邻接点的过程。用邻接矩阵作图的存储结构时，查找每个顶点的邻接点所需要的时间为O(n^2)；用邻接表作图的存储结构时，查找邻接点所需要的时间为O(e)；当用邻接表作存储结构时，深度优先搜索遍历图的时间复杂度为O(n+e)。

 

一颗生成树的代价就是树上各边的代价之和。

构造最小生成树算法多利用了MST性质。主要利用 Prim算法（时间复杂度为O(n^2)，与网中边数无关，适用于求边稠密的最小生成树）和 Kruskal算法（时间复杂度为O(e log e)，适合于求边稀疏的最小生成树）。

 

3、       图的拓扑排序唯一，则其弧数比为n-1(n为图的顶点数)

4、       有向图中存在拓扑排序，则该图不存在回路。

 

5、       具有7个顶点的有向图至少应该有7条边才可能成为一个强连通图。

分析：强连通图必须从任何一点出发都可以回到原处，每个结点至少要有一条出路（单节点除外）至少n条边，正好可以组成一个环。

 

N个顶点的强连通图最多有N(N-1)条边，最少有    N条边。

（强连通图是指有一个有向图中任意两点v1、v2间存在路径及v2到v1的路径的图。）

最多情况：即n个顶点中两两相连，若不计方法，n个点两两相连有N(N-1)/2条边，而由于强连通图是有向图，故每条边有2个方向，N(N-1)/2*2=N(N-1),所以N个顶点的强连通图最多有N(N-1)条边；

最少情况：即N个顶点围成一个圈，且圈上各边方向一致，即均为顺时针或者逆时针，此时有N条边。

 

6、       要保证连通具有10个顶点的无向图，至少需要37条边。

分析：要保证连通具有10个顶点的无向图，重点是需要保证连通，则需要前面9个顶点两两相连，就能保证第10个顶点加入一条边时保证连通。即从9个结点中任意选出两个结点链接，则需要C(9，2)条边，再加上最后一条边，则总边数：C(9，2)+1=(9*8)/(1*2)=36,再加上1等于37.

 

分析二：

一个连通图边数最少情况就是这个图中没有回路情况，实际上这个图是一颗树，对于树，分支和结点关系是：分支数比结点数少1.

 

补充：

1）       具有10个顶点的无向图，边的总数最多为：

10*（10-1）/2=45；

2）       G是一个非连通无向图，共有28条边，则该图至少有9个顶点。

分析：假设至少有N个顶点，由于是非连通图，且要满足28条边，所以N=边为28的完全图（顶点最少）的顶点数+1（与完全图不连通）。完全图边数为28，解n(n-1)/2=28，得n=8，因此N=8+1=9；

 

7、       位示图法用于：磁盘空闲盘块的分配和回收。

8、       任何有向图的结点都可以排成拓扑排序，而且拓扑排序序列不唯一。（错误，有环就不行，有向无环图才能拓扑排序）

拓扑排序：

1）从有向图选择一个入度为0的顶点并输出之；

2）从图中删除该顶点和所有出边，直到不存在入度为0的顶点。

循环结束后，若输出的顶点数小于网中的顶点数，则有回路，否则输出的顶点序列就是一种拓扑序列。

 

补充：如何查找一个图中是否有环？

1）有向图中用拓扑排序，循环结束后，若输出的顶点数小于网中的顶点数，则有回路，否则输出的顶点序列就是一种拓扑序列。（还有顶点未输出，但已经不存在没有前驱的顶点）。拓扑排序使用前提就是有向完全图。

2）无向图中，若深度优先遍历过程中遇到回边（即指向已访问过的顶点的边），则必定存在环；有向图中用dfs比较复杂。

 

9、       图G的最小生成树G1中，可能会有某条边的权值超过未选边的权值。（正确，最小生成树是最小权重生成树的简称，只保证了所有权值之和最小，不好找每条路径都有最小权重）

 

10、  对于一个具有n个顶点的无向图，若采用邻接表表示，则存放表头结点的数组的大小为：n。

 

分析：邻接表的性质，存在多少个结点就有多少个头结点的数组，每个头结点的数组都指向该结点在图中直接相连的结点。

图的邻接表表示不是唯一的，它与表结点的链入次序有关；

 

11、  若无向图G=(V,E)中含有7个顶点，则保证图G在任何情况下都是连通的，则需要的边数最少是：16.

分析：与第6题分析一样。任何情况都连通的最少边数边数边分不最浪费的最少边情况，取点数减一的完全图即：

6*（6-1）/2=15，再加上一条边得结果16.

 

12、N个顶点的强连通图的边数至少有N个。