凸优化第九章无约束优化 9.4最速下降方法

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本文详细介绍了最速下降方法，包括Euclid范数下的负梯度方向，二次范数下的最速下降方向，并探讨了基于坐标变换的解释。通过坐标变换，最速下降法可以转化为梯度下降法，从而影响收敛速度。选择合适的范数对于优化过程的效率至关重要。

9.4最速下降方法

对f(x+v)在x处进行一阶Taylor展开：

f(x+v)\approx \hat{f}(x+v)=f(x)+\bigtriangledown f(x)^Tv

其中\bigtriangledown f(x)^Tv是f在x处沿方向v的方向导数

令\begin{Vmatrix}\cdot \end{Vmatrix}是R^n上的任意番薯，顶一个规范化的最速下降方向：

\bigtriangleup x_{nsd}=argmin\left \{ \bigtriangledown f(x)^Tv|\begin{Vmatrix} v\end{Vmatrix} =1\right \}

一个规范化的最速下降方向\bigtriangleup x_{nsd}是一个能使f的线性近似下降最多的具有单位范数的步径。

也可以将规范化的最速下降方向乘以一个特殊的比例因子，从而考虑下述非规范化的最速下降方向

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