凸优化第八章几何问题 8.4极值体积椭圆

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本文探讨了凸优化中的极值体积椭圆问题，包括Lowner-John椭球的概念，如何找到覆盖有限集合的最小体积椭球，以及最大体积内接椭球的问题。此外，还讨论了椭球逼近的效率，特别是Lowner-John椭球和最大体积内接椭球的中心缩放比例在保证覆盖或包含集合时的效果。

8.4极值体积椭圆

  1. Lowner-John椭球
  2. 最大体积内接椭球
  3. 椭球逼近的效率

Lowner-John椭球

包含集合C的最小体积椭球被成为集合C的Lowner-John椭球，记为\varepsilon _{lj}，为方便描述\varepsilon _{lj}的特征，将一般的椭球参数化为\varepsilon =\left \{ v|\begin{Vmatrix} Av+b\end{Vmatrix}_2\leq 1 \right \}

即Euclid球在仿射映射下的原象。可以不是一般性地假设A\in S_{++}^n，此时\varepsilon的体积正比于det(A^{-1})。计算包含C的最小体积椭球的问题可以表述为：

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