约瑟夫环问题的数学求解

原文

  http://www.cnblogs.com/jjscm/p/4463555.html

问题:有n个人站成环 从1开始报数,报k的人去死,之后下一个人报1,问当你是第几个的时候可以活下来?

这篇文章主要是讲解  f(n,k)=(f(n-1,k)+k)%n 这个公式是什么意思为什么是对的

 

虽然公式是使用数学解法 但开始时我会手动的模拟过程 其是有意义的 十分有助于理解 

首先我们看样一个问题

n=2, k=3

a b

我们首先使用人力来数 a b a 很好 a死

接下来在试一遍 n=2 k=4

a b 

人力:a b a b 很好b死

n=2 k=5

人力 a b a b a 很好a死

n=2 k=9999999

人力:T_T

对于   a b 数到k死 其实用k%2就可以很快的知道谁会死了

为什么?

a b

设k=9 ab一共有两个  所以 9%2=1  意思就是abab的数,数完最后一次完整的循环后又数了1个(数到了a)  这正是取模%的意义  

现在我们还是用手动模拟 n=11 k=3

这次不用字母而是用数字编号以直接返回生存者的编号(剧透 注意分别 第几个和编号的不同)

1 2  3 4 5 6 7  8 9 10 11

第1个死去的 k%n 即 3%11=3 第三个死去 因为我们从死去的下一个开始重新数1 也就是说 死去的下个(编号4)是新的环的开始 死去的上个(编号3)是新的环的结束

4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 (这就是新的环)

规则就是这样 下面我会直接写到生存者出现

 

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
4	5	6	7	8	9	10	11	1	2
7	8	9	10	11	1	2	4	5
10	11	1	2	4	5	7	8
2	4	5	7	8	10	11
7	8	10	11	2	4
11	2	4	7	8
7	8	11	2
2	7	8
2	7
7

当当最后的幸存者是7

------完结撒花------

 

f(n,k)=(f(n-1,k)+k)%n这个公式到底描述的是什么呢?(怎么用?)

将上面表格的每一行看成数组 这个公式描述的是下一轮幸存者在这一轮的下标位置

f(n,k)求得值是 有n个人 数k死最后幸存的人的下标位置是几

这很明显是个递归的式子 需要从底到上的运算 

最底端是 f(1,k) f(1,k)=0 就是说只有一个人的时候幸存者的下标是0(废话--) 编号是7 

向上

f(2,k) =(f(1,k)+k)%n  在n=11 k=3是 f(2,3)=(f(1,3)+3)%2=3%2=1

在只剩两个人时 幸存者在这一轮数组中的下标位置是1  (看看上面的表格 下标位置为1 编号是7 )

向上

f(3,3)=(f(2,3)+3)%3=4%3=1

在只剩三个人时 幸存者在这一轮数组中的下标位置是1  (看看上面的表格 下标位置为1 编号是7 )

f(4,3)=(f(3,3)+3)%4=4%4=0

在只剩三个人时 幸存者在这一轮数组中的下标位置是0  (看看上面的表格 下标位置为0 编号是7 )

.

.

f(11,3)=(f(10,3)+3)%11=6%11=6  (看看上面的表格第一行 下标位置为6 编号是7 )

我们很容易可以根据式子写

1 int p=0;//结果 
2 for(int i=2;i<=n;i++)
3 { 
4     p=(p+k)%i; 
5 }

p就是我们要求的第一轮的生存者的下标  

而在第一轮中没有人死去(泪目..) 编号与下标的关系是编号=下标+1(数组从0开始存储)

所以完整的函数代码是

int cir(int n,int k)
{
    int p=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        p=(p+k)%i;
    }
    return p+1;
}

那么这个公式为什么是正确的呢?

当我们杀死一个一个人 并形成一个新环时 实质上是掉这个人并把整个环向前移动k位

 

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

 　　第一轮去掉3

1

2

4

5

6

7

8

9

10

11

们从死去的下一个开始重新数1 也就是说 死去的下个(编号4)是新的环的开始 死去的上个(编号3)是新的环的结束 就是把编号4前移k(3)格使他成为新环开始

 

 

									1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
						1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	1	2	3

让我们在重申一遍f(n,k)=(f(n-1,k)+k)%n描述的是下标位置的变化 

编号1的下标位置是0 0前移3格 下标位置变成-3 -3+11=8 所以在n轮下标位置为0的编号1在n-1轮中的下标位置变成了8

如果也有一个公式的话大概就是 f(n-1,k)=f(n,k)-k>=0?f(n,k)-k:f(n,k)-k+n; 

那么从n-1轮的下标位置推算第n轮的下标位置就很清楚了 f(n,k)=f(n-1,k)+k>=n?f(n-1,k)+k%n:f(n-1,k)+k  (%n  使得f(n,k)取得的下标在n的范围之内)

f(n,k)=(f(n-1,k)+k)%n

 

以上

重点在于f(n,k)描述的是下标位置的变化