也说说有N阶楼梯每次可以选择下1阶、2阶、3阶一共有多少种下法的问题

问题:假设有50阶台阶,每次可以选择下3阶、2阶、或者1阶,问下到底一共可以有多少种下法,并用JAVA代码实现

分析:很明显这是一个递归的问题

            假设只有一阶台阶,那么只有一种走法,即下一阶

            假设有两阶台阶,那么有两种走法:

       a.一次下两个台阶

               b.一次一个台阶下两次

           假设有三阶台阶,那么有四种走法:

              a.下一次三阶

              b.下一次两阶,再下一次一阶

              c.下一次一阶,再下一次两阶

              d.下三次一阶

          由上所述,易得

          f(n) = f(n-3) + f(n-2) + f(n-1)

解答:

  package javaapplication1;


/**
 *
 * @author meng
 */
public class DownStairs1 {


    /**
     * @param args
     */
    public static void main(String[] args) {
        int currentStep = 50;
        System.out.println("totaly possibility is: " + totalPsblt(currentStep));
    }
    public static int totalPsblt(int n) {
        switch (n) {
            case 1:
                return 1;
            case 2:
                return 2;
            case 3:
                return 4;
            default:
                return totalPsblt(n - 1) + totalPsblt(n - 2) + totalPsblt(n - 3);   
        }
    }
}    


评析:上段JAVA仅能实现,但是效率比较低

<think>好的,我需要帮用户解决如何用Python3编写计算楼梯方法数量的程序,每次可以12台阶。首先,我得回忆一下这个问题的基础知识。这应该是一个动态规划的问题,因为每一步的选择会影响后面的结果,而存在重叠子问题。 用户提到每次可以12台阶,这和经典的楼梯问题类似。经典问题中,到达第n的方法数等于到达第n-1和第n-2方法数之和,因为最后一步可能跨1步或2步。这应该形成一个斐波那契数列的结构,但初始条件可能不同。比如,当n=1时,只有1种方法;n=2时,有2种(1+1或直接2);n=3时,是n=2的方法数加上n=1的方法数,也就是3种。 不过,我需要确认用户的具体需求。用户引用了三个参考,其中两个允许123步,但用户现在的问题限定为每次12步。所以可能需要调整之前的思路。例如,引用[1]中的小明最多可以上3台阶,而用户现在的问题每次只能12,因此代码应该不同。 接下来,我需要设计一个动态规划的解决方案。定义一个数组dp,其中dp[i]表示到达第i的方法数。初始条件应该是dp[0]=1(作为起点),dp[1]=1,因为只有一种方法上一。然后对于i>=2的情况,dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]。这应该能正确计算所有可能的方法。 不过,是否需要用递归?递归会有重复计算的问题,效率低下。比如,计算dp(5)需要dp(4)和dp(3),而dp(4)又需要dp(3)和dp(2),这样会有很多重复。所以,应该使用迭代的方法,或者带备忘录的递归。但用户可能希望得到更高效的迭代方法。 因此,迭代的动态规划方法是更优的选择。用循环从2到n,逐步计算每个dp[i]。这样时间复杂度是O(n),空间复杂度如果用数组的话也是O(n),不过可以优化到O(1)的空间,只用前两个变量存储即可。 接下来,我需要用Python3实现这个逻辑。例如,可以这样写: def climb_stairs(n): if n <= 1: return 1 a, b = 1, 1 for _ in range(2, n+1): a, b = b, a + b return b 这里,a和b分别表示dp[i-2]和dp[i-1],每次迭代更新为下一个值。例如,当n=2时,b变成a+b=1+1=2,正确。当n=3时,b=1+2=3,依此类推。 但需要考虑n=0的情况吗?比如,如果楼梯有0,可能只有一种方法(不动)。但根据用户的问题,输入可能从1开始,但代码中应该处理边界情况。例如,当n=0时返回1?但用户的需求可能不需要,可能需要看输入范围。但根据题目的常规情况,n>=1,所以当n=0时是否处理呢? 根据用户提供的引用[1]和[2],他们的初始条件可能不同。例如,引用[3]提到当n=3时,方法数是到达第2和第1之和,即2+1=3种。所以初始条件应该是dp[0]=1,dp[1]=1,dp[2]=2,dp[3]=3+... 但这里用户的问题每次只能12步,所以正确的递推式是斐波那契数列,从dp[1]=1,dp[2]=2开始,后面的每个dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]。 所以,代码的实现应该处理n=0的情况吗?比如,如果输入0,返回1。但用户的问题可能输入的是正整数。但为了代码的健壮性,可以处理n=0的情况。比如: def climb_stairs(n): if n == 0: return 1 elif n == 1: return 1 a, b = 1, 1 for i in range(2, n+1): a, b = b, a + b return b 这样,当n=2时,返回2,正确。n=3返回3,n=4返回5等等。这和斐波那契数列的偏移一致。 测试几个例子: 当n=1,输出1;正确。 当n=2,有两种方法(1+12),输出2;正确。 当n=3,有3种:1+1+11+22+1。输出3,正确。 所以代码是正确的。 用户可能需要这个函数的输入输出示例。例如,输入3,返回3。输入4,返回5。 总结,代码应该使用动态规划,迭代方式,空间优化到O(1)。</think>### 解答 **问题分析** 楼梯问题属于经典动态规划问题。当每次12台阶时,到达第$n$的方法数等于到达第$(n-1)$(最后一步跨1)和到达第$(n-2)$(最后一步跨2)的方法数之和[^3]。递推关系为: $$f(n) = f(n-1) + f(n-2)$$ 初始条件: $$f(0)=1, \quad f(1)=1$$ **Python3实现代码** ```python def climb_stairs(n: int) -> int: if n == 0: return 1 a, b = 1, 1 for _ in range(2, n + 1): a, b = b, a + b return b # 测试示例 print(climb_stairs(3)) # 输出3 print(climb_stairs(4)) # 输出5 ``` **代码说明** 1. **初始条件**:`a`和`b`分别表示$f(n-2)$和$f(n-1)$的初始值 2. **迭代计算**:通过循环逐步更新`a`和`b`的值,空间复杂度优化为$O(1)$ 3. **边界处理**:当$n=0$时(无台阶),视为1种方法
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