欧几里得最大公约数辗转相除法详解

一.前言

辗转相除法又称$Euclid$算法，是一种求最大公约数的方法。它的代码实现和工作原理会在下文提到。本文对于辗转相除法进行了通俗易懂的解释。

二.前置知识(重要)

（这一部分如果有阅读上的困难，没有关系，可以直接将第二部分最后的红色等式记住，跳转至下一部分继续阅读）

在这里，$gcd(a,b)$表示$a,b$的最大公约数

假设两不为零的整数$a,b$，

那么$a$ 一定能表示成 $gcd(a,b)\ast x$的形式, 同理将$b$写成这样的形式$b=gcd(a,b)\ast y$

即$a=gcd(a,b)\ast x,b=gcd(a,b)\ast y$

则两式相加有$a+b=gcd(a,b)\ast (x+y)$

所以 $gcd(a,b)$是 $a+b$ 和 $b$ 的因数.

则$gcd(a,b)<=gcd(a+b,b)$（因数小于等于最大公约数）

同理：我们假设 $a+b=gcd(a+b,b)\ast x,b=gcd(a+b$