cf div2 #333 D. Lipshitz Sequence （单调栈）

最新推荐文章于 2019-08-25 14:26:45 发布

w20810

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分类专栏： ACM-数据结构文章标签：单调栈

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本文详细解析了 CodeForces 平台上的 602D 题目，通过分析 Lipschitz 常数的定义，介绍了三种高效的算法实现方案：线段树加二分查找、单调栈以及迭代方法，并提供了相应的代码实例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目：http://codeforces.com/contest/602/problem/D

题意：给定n(n<=1e5)个整数的数组h[i],现在定义一个函数

For an array $\text{[math]}$ , we define it's Lipschitz constant $\text{[math]}$ as follows:

if n < 2, $\text{[math]}$
if n ≥ 2, $\text{[math]}$ over all 1 ≤ i < j ≤ n

然后有q（q<=100）次询问,每次询问给定区间[l,r],求[l,r]的所有子区间的L(h)函数值的和。

分析：

Orz。不会做，借助@浩哥的神力做出来了。

首先分析L（h）函数，从定义上看就是斜率的绝对值的最大值。

对于(i,h[i])和(j,h[j]) ,j-i>=2,肯定存在一点(k,h[k]),i<k<j,使得abs(h[k]-h[i]/k-i) 或者 abs(h[k]-h[j]/k-j) 大于 abs(h[i]-h[j]/i-j)。可以在纸上画一下。

这就说明,函数的最大值一定是相邻两点之间的斜率的绝对值。

即长度为n的区间，只需考虑n-1种情况即可。

现在将abs(h[i]-h[i+1])存到另外一个数组use[i]。

对于每次查询[l,r]，要求出所有子区间的解，只需考虑use[i]所影响的范围。

那么就是在i的左边找一个离i最近的且比use[i]大的数的位置p1。（注意p1要在[l,r]内）

在i的右边找一个离i最近的且大于等于use[i]的数的位置p2。

use[i]影响的区间的个数就是(i-p1+1)*(p2-i+1)。

那么use[i]对答案的贡献就是use[i]*(i-p1+1)*(p2-i+1)。

现在的问题就是怎样求在i的左边找一个离i最近的且比use[i]大的数的位置p1。

①线段树或者RMQ维护区间最大值。

然后二分打表。（不打表超时。。。。。）

②也可以用单调栈O（n）打表。

本题应该可以用类似迭代的解法。

线段树+二分

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1

typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
const LL INF = 1E9+9;
const int maxn = 1e6+7;
int h[maxn],use[maxn];
int n;
inline int ABS(int a)
{
	return a<0?-a:a;
}
int tree[maxn<<2];
void update(int pos,int v,int l,int r,int rt)
{
	if(l==r)
	{
		tree[rt]=v;
		return ;
	}
	int m=(l+r)>>1;
	if(pos<=m)
		update(pos,v,lson);
	else
		update(pos,v,rson);
	tree[rt]=max(tree[rt<<1],tree[rt<<1|1]);
}

int query(int L,int R,int l,int r,int rt)
{
	if(L<=l && r<=R)
		return tree[rt];
	int m=(l+r)>>1,ret=-INF;
	if(L<=m)
		ret=max(ret,query(L,R,lson));
	if(R>m)
		ret=max(ret,query(L,R,rson));
	return ret;
}

int FindL(int pos)
{
	int down=1,up=pos-1,mid,ret=-1;
	while(down<=up)
	{
		mid=(down+up)>>1;
		if(query(mid,pos-1,1,n-1,1)>use[pos])
		{
			down=mid+1;
			if(ret<mid)
				ret=mid;
		}
		else
			up=mid-1;
	}
	return ret;
}

int FindR(int pos)
{
	int down=pos+1,up=n-1,mid,ret=n;
	while(down<=up)
	{
		mid=(down+up)>>1;
		if(query(pos+1,mid,1,n-1,1)>=use[pos])
		{
			up=mid-1;
			if(ret>mid)
				ret=mid;
		}
		else
			down=mid+1;
	}
	return ret;
}

int LLL[maxn],RRR[maxn];

int main()
{
	int q,i,j;
	scanf("%d%d",&n,&q);
	for(i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&h[i]);
	for(i=1;i<n;i++)
	{
		use[i]=ABS(h[i]-h[i+1]);
		update(i,use[i],1,n-1,1);
	}
	for(i=1;i<n;i++)
	{
		LLL[i]=FindL(i);
		RRR[i]=FindR(i);
	}
	int L,R;
	while(q--)
	{
		scanf("%d%d",&L,&R);
		R--;
		LL ans=0;
		for(i=L;i<=R;i++)
		{
			int l=max(L-1,LLL[i])+1; l=min(l,i);
			int r=min(R+1,RRR[i])-1; r=max(r,i);
			ans+=use[i]*(r-i+1ll)*(i-l+1LL);
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

单调栈

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
const LL INF = 1E9+9;
const int maxn = 1e5+8;

int L[maxn],R[maxn];
int h[maxn];
int Stack[maxn],pos[maxn];
int use[maxn];
int main()
{
	int n,q,i,j,k;
	scanf("%d%d",&n,&q);
	for(i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&h[i]);
	int top=0;
	Stack[0]=INF;
	pos[0]=0;
	
	for(i=1;i<n;i++)
	{
		int v=abs(h[i]-h[i+1]);
		use[i]=v;
		while(top>0 && Stack[top]<v)
			top--;
		L[i]=i-pos[top];
		Stack[top+1]=v;
		pos[top+1]=i;
		top++;
	}
	
	top=0;
	Stack[0]=INF;
	pos[0]=n;
	for(i=n-1;i>=1;i--)
	{
		int v=abs(h[i]-h[i+1]);
		while(top>0 && Stack[top]<=v)
			top--;
		R[i]=pos[top]-i;
		Stack[top+1]=v;
		pos[top+1]=i;
		top++;
	}
	
	int l,r;
	while(q--)
	{
		scanf("%d%d",&l,&r);
		r--;
		LL ans=0;
		for(i=l;i<=r;i++)
		{
			int lq=max(l-1,i-L[i])+1;
			int rq=min(r+1,i+R[i])-1;
			ans+=use[i]*(rq-i+1ll)*(i-lq+1LL);
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	
	return 0;
}

cf上的单调栈

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
const LL INF = 1E9+9;
const int maxn = 1e5+7;

int h[maxn];
struct Stack
{
	LL sum;
	int v,pos;
}st[maxn];

int main()
{
	int n,q,i,j,L,R;
	scanf("%d%d",&n,&q);
	for(i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&h[i]);
	while(q--)
	{
		scanf("%d%d",&L,&R);
		int top=0;
		st[0].pos=L;
		st[0].sum=0;
		st[0].v=0;
		LL ans=0;
		for(i=L+1;i<=R;i++)
		{
			int v=abs(h[i]-h[i-1]);
			while(top>0 && st[top].v<v)
				top--;
			LL s=st[top].sum+v*1ll*(i-st[top].pos);
			ans+=s;
			st[top+1].sum=s;
			st[top+1].v=v;
			st[top+1].pos=i;
			top++;
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

迭代

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
const LL INF = 1E9+9;

const int maxn = 1e5+7;

int h[maxn],L[maxn],R[maxn],s[maxn];
int main()
{
	int n,q,i,j,x,l,r;
	scanf("%d%d",&n,&q);
	for(i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&h[i]);
	for(i=0;i<=n;i++)
		L[i]=R[i]=i;
	for(i=1;i<n;i++)
		s[i]=abs(h[i]-h[i+1]);
	s[0]=INF;
	for(i=1;i<n;i++)
		while(s[i]>s[L[i]-1])
			L[i]=L[L[i]-1];
	s[n]=INF;
	for(i=n-1;i>=1;i--)
		while(s[i]>=s[R[i]+1])
			R[i]=R[R[i]+1];
	while(q--)
	{
		scanf("%d%d",&l,&r);
		r--;
		LL ans=0;
		for(i=l;i<=r;i++)
		{
			int lq=max(l,L[i]);
			int rq=min(r,R[i]);
			ans+=s[i]*(rq-i+1ll)*(i-lq+1LL);
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}