欧拉函数

定理1：如果f是一个乘（积）性函数，对任意正整数n有素数幂分解n=（p1^α1）*（p2^α2）*（p3^α3）* ....... *（pk^αk），那么。

定理2：如果p是素数,那么φ（p）=p-1；反之，如果p是一个正整数且满足φ（p）=p-1,那么p是素数。

定理3：设p是素数，a是一个正整数，那么φ（p^a）=(p^a)-(p^(a-1));

定理4：设m，n是互素的正整数，那么φ（n*m）=φ(n) * φ(m)。（即欧拉函数是积性函数）

定理5：设n=p1^a1 * p2^a2 * …… *pk^ak,为正整数n的素数幂分解，那么φ（n）=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*……*(1-1/pk)。

推论：当n为奇数时,有φ（2*n）=φ(n)。

定理6：设n是一个大于2的正整数，那么φ（n）是偶数。

欧拉定理：对于任何两个互质的正整数a，n(n>=2)，有a^(φ(n))≡1(mod n)。

费马小定理：当n是素数时,a^(n-1)≡1(mod n)。（费马小定理是欧拉定理的特殊情况）

求欧拉函数的值。

代码：

typedef long long LL;

const int maxn=50000;

int prime[maxn],nprime;
bool isprime[maxn];

void doprime()//50000*50000内的数的欧拉函数的值
{
	nprime=0;
	LL i,j;    //用int会越界 
	for(i=1;i<maxn;i+=2)
		isprime[i]=true;
	isprime[1]=false;
	isprime[2]=true;
	for(i=2;i<maxn;i++)
	{
		if(isprime[i])
		{
			prime[nprime++]=i;
			for(j=i*i;j<maxn;j+=i)
				isprime[j]=false;
		}
	}
}
int phi(int n)
{
    int ans=n;
    int i,k=sqrt(n*1.0)+1;
    for(i=0;prime[i]<=k;i++)
    {
        if(n%prime[i]==0)
        {
            ans=ans-ans/prime[i];
            while(n%prime[i]==0)
                n/=prime[i];
            if(n==1)
                break; 
        } 
    }
    if(n>1)
        ans=ans-ans/n;
    return ans;
}

 

欧拉函数打表：

typedef long long LL;

const int maxn=50000;

int prime[maxn],nprime;
bool isprime[maxn];

void doprime()
{
	nprime=0;
	LL i,j;    //用int会越界 
	for(i=1;i<maxn;i+=2)
		isprime[i]=true;
	isprime[1]=false;
	isprime[2]=true;
	for(i=2;i<maxn;i++)
	{
		if(isprime[i])
		{
			prime[nprime++]=i;
			for(j=i*i;j<maxn;j+=i)
				isprime[j]=false;
		}
	}
}
const int N=1000000;
int phin[N];
void dophi()
{
    int  i,j;
    for(i=1;i<N;i++) phin[i]=i;
    for(i=2;i<N;i+=2) phin[i]/=2;
    for(i=3;i<N;i+=2)
    {
        if(phin[i]==i)
        {
            for(j=i;j<N;j+=i)
                phin[j]=phin[j]/i*(i-1); 
        }
    }
}