47、P4P问题的五个解与控制点的对称排列

P4P问题的五个解与控制点的对称排列

1. 引言

透视4点问题（Perspective-4-Point, P4P）是计算机视觉中的一个经典难题，它涉及到如何利用四个已知世界坐标系下的点及其对应的图像坐标来确定相机的姿态（位置和方向）。该问题的解空间非常复杂，通常存在多个解，而这些解的几何特性对姿态估计的实际应用有着重要影响。本文将重点讨论在特定几何条件下，即当P4P问题存在五个解时，这些解与控制点之间的对称排列情况。

2. P4P问题概述

2.1 定义与背景

P4P问题的核心在于确定相机的外参（旋转和平移），给定四个三维空间点 ( P_i ) 和它们在图像平面上的投影 ( p_i )，可以通过以下方程组表示：
[
\lambda_i \begin{pmatrix}
u_i \
v_i \
1
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
f_x & 0 & c_x \
0 & f_y & c_y \
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
R_{11} & R_{12} & R_{13} & t_x \
R_{21} & R_{22} & R_{23} & t_y \
R_{31} & R_{32} & R_{33} & t_z
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X_i \