26、Dirichlet L - 函数相关研究解读

Dirichlet L - 函数相关研究解读

1. Dirichlet L - 函数基础概念

设 $\chi$ 是模 $q$ 的狄利克雷特征，将其扩展为 $\tilde{\chi}: \mathbb{Z} \to \mathbb{C}$，当 $(a, q) = 1$ 时，$\tilde{\chi}(a) = \chi(a \pmod{q})$，否则为 $0$。与 $\chi$ 相关的狄利克雷 $L$ - 函数 $L(s, \chi)$ 由引言中的级数定义。在 $\Re(s) > 1$ 的区域，它绝对且局部一致收敛；若 $\chi$ 非平凡，在 $0 < \Re(s) \leq 1$ 条件收敛。

对于 $\Re(s) > 1$，狄利克雷 $L$ - 函数有欧拉乘积形式：
$L(s, \chi) = \prod_{p} (1 - \tilde{\chi}(p)p^{-s})^{-1}$

由于 $L(s, \chi) = {\prod_{p|q}(1 - \tilde{\chi}^ (p)p^{-s})}L(s, \chi^ )$，$L(s, \chi)$ 的解析性质（如零点和极点位置）与 $L(s, \chi^*)$ 相关。

下面是关于 $L(s, \chi)$ 的一些重要性质：
- 解析延拓与函数方程
- 若 $\chi$ 是模 $q$ 的本原狄利克雷特征：
- 若 $\chi$ 非平凡，$L(s, \chi)$ 可延拓为 $\mathbb{C}$ 上的整函数；若 $\chi$ 平凡，$L(s, \chi) = {\prod_{p|q}(1 -