15、群 - 子群对图的谱分析

群 - 子群对图的谱分析

1. 双正则二部图与拉马努金二部图

1.1 双正则二部图的极限特征值

对于无限族连通的 $(p, q)$ - 双正则二部图 ${X_n = (V_n, E_n)} {n\geq1}$，当 $|V_n|\to\infty$ 时，有 $\liminf {n\to\infty}\lambda_1(X_n) \geq R_B(p, q)$，其中 $R_B(p, q) := \sqrt{p - 1} + \sqrt{q - 1}$。

1.2 拉马努金二部图的定义

一个 $(p, q)$ - 双正则连通二部图 $X$ 被称为拉马努金二部图，如果满足 $|\sqrt{p - 1} - \sqrt{q - 1}| \leq \lambda(X) \leq \sqrt{p - 1} + \sqrt{q - 1}$，这也等价于 $|\lambda(X)^2 - p’ - q’| \leq 2\sqrt{p’q’}$（其中 $p = p’ + 1$，$q = q’ + 1$）。

2. 凯莱型图与群 - 子群对图

2.1 凯莱图的定义

设 $G$ 是有限群，$S$ 是 $G$ 的对称生成子集（即 $S^{-1} = S$ 且 $G = \langle S\rangle$），不包含单位元 $e$。则凯莱图 $Cay(G, S)$ 的顶点集为 $G$，两个顶点 $x, y\in G$ 相邻当且仅当 $x^{-1}y\in S$。

示例 ：设 $G = D_7 = \langle\sigma, \tau\ran