12、高效同构序列计算方法解析

高效同构序列计算方法解析

1. 椭圆曲线上的 CLG 型同构序列计算

1.1 Vélu 公式

对于小素数 $\ell$（如 $\ell = 2, 3, \cdots$），可以使用 Vélu 公式来计算 $\ell$-同构。当椭圆曲线 $E$ 由 $Y^2 = X^3 + AX + B$ 给出，且核 $K$ 明确时，存在唯一的同构 $\psi: E \to \tilde{E}$，使得 $K = \ker \psi$，记 $\tilde{E} = E/K$。

具体计算时，对于点 $Q = (x_Q, y_Q) \neq O_E \in K$，定义：
- $g_{x_Q} = 3x_Q^2 + a$
- $g_{y_Q} = -2y_Q$
- 若 $Q \in E[2]$，$t_Q = 2g_{x_Q}$；若 $Q \notin E[2]$，$t_Q = g_{x_Q}$
- $u_Q = (g_{y_Q})^2$

设 $S = (K - {O_E}) / \pm 1$，令 $t = \sum_{Q \in S} t_Q$，$w = \sum_{Q \in S} (u_Q + x_Q t_Q)$，$\tilde{A} = A - 5t$，$\tilde{B} = B - 7w$，则：
- $\tilde{E} = E/K: Y^2 = X^3 + \tilde{A}X + \tilde{B}$
- $\tilde{x} = x + \sum_{Q \in S} \frac{t_Q}{x - x_Q} + \frac{u_Q}{(x - x_Q)^2}$
- $\tilde{y} = y - \