24、概率算法：原理、类型与应用

概率算法：原理、类型与应用

1. 概率算法概述

在密码学领域，概率算法有着举足轻重的地位。一方面，加密和数字签名方案中所使用的算法常常包含随机选择，例如 Vernam 一次性密码本、DSA 等，这些算法都具有概率性；另一方面，在研究密码方案的安全性时，攻击者通常被建模为概率算法。

确定性算法的输出完全由输入决定。对于确定性算法 A，若输入为 x，其输出 y 是通过程序员预先确定的一系列步骤从 x 计算得出的。每次对相同的输入 x 应用 A，都会得到相同的输出 y，就像一个数学映射。我们可以用数学符号 A : X → Y 来表示确定性算法 A，其中输入来自集合 X，输出在集合 Y 中。常见的确定性算法的形式化模型之一是图灵机，确定性算法由具有确定性状态转移的图灵机来建模，即状态转移完全由输入决定。

而概率算法 A 的行为部分由随机事件控制。对于输入 x，其输出 y 的计算依赖于有限次随机实验的结果。对相同的输入 x 两次应用概率算法 A，可能会得到不同的输出。

2. 抛硬币算法

概率算法具备抛硬币的能力，其控制流程取决于抛硬币的结果，因此表现出随机行为。

2.1 定义

给定输入 x，概率（或随机化）算法 A 在计算输出 y 的过程中可能会有限次抛硬币，下一步的操作可能依赖于之前抛硬币的结果。抛硬币的次数可能取决于之前的结果，但对于给定的输入 x，它受某个常数 tx 的限制。抛硬币是相互独立的，且硬币是公平的，即每一面出现的概率均为 1/2。

2.2 示例

以下是一些概率算法的示例：
- Vernam 一次性密码本、OAEP 和 ElGamal