13、公钥密码学与密码协议详解

公钥密码学与密码协议详解

1. ElGamal加密算法在椭圆曲线上的应用

ElGamal加密方案可以直接应用于椭圆曲线 $E(F_q)$ 上。假设域参数 $(F_q, a, b, Q, n, h)$ 是公开已知的，$E_n = \langle Q \rangle$ 是阶为 $n$ 的子群。

• 密钥生成 ：Bob随机选择一个整数 $s_B \in {1, \ldots, n - 1}$ 作为私钥，公钥 $P_B = s_BQ$。
• 加密过程 ：Alice要给Bob加密消息 $m \in E_n$ 时，随机选择一个整数 $k$，$1 \leq k \leq n - 1$，计算 $kQ$ 和 $kP_B$，密文为 $(C_1, C_2) := (kQ, m + kP_B) \in E_n^2$。
• 解密过程 ：Bob从 $C_1$ 计算 $s_BC_1 = ks_BQ = kP_B$，然后得到明文 $m = C_2 - s_BC_1$。

注意事项 ：
1. 明文空间 ：明文空间是 $E_n$。在某些应用中，明文可以自然地视为 $E_n$ 的元素，如交换共享密钥。但通常要加密的是长度为 $l$ 的比特串，需要将消息空间 ${0, 1, 2, \ldots, M - 1}$ 编码为 $E_n$ 的元素。Menezes - Vanstone变体则不需要这种编码。
2. 安全性 ：