23、序列、DFT与抗快速代数攻击分析

序列、DFT与抗快速代数攻击分析

1. 算法步骤

在处理矩阵相关问题时，有如下算法步骤：
1. 对矩阵 $\begin{bmatrix}D_d \ S_e\end{bmatrix}$ 应用高斯消元法。
2. 若该矩阵的秩等于 $t + s$（其中 $|D_d| = t$ 且 $|S_e| = s$），则设置 $g = 0$ 和 $h = 0$，然后进入步骤 6。
3. 否则，找到 $c_i$（$i = 1, \ldots, t$），使得 $\sum_{i = 1}^{t} c_i f_{g_i} + \sum_{i = 1}^{s} c_{t + i} h_i = 0$。
4. 设置 $g = \sum_{i = 1}^{t} c_i g_i$ 和 $h = \sum_{i = 1}^{s} c_{t + i} h_i$。
5. 返回 $g$ 和 $h$。

该算法也可应用于布尔函数 $f$ 的表示。不过，使用多项式基来建立 $S_m$ 比使用布尔函数基更高效，布尔函数基为 $1, x_1, \ldots, x_n, x_1x_2, \ldots, x_c, \ldots, x_{i_1}x_{i_2} \ldots x_{i_m}$（对于所有 $c \in F_2^n$ 且 $w(c) \leq m$）。这是因为步骤 3 对于每个 $k \in \Gamma(n)$ 且 $w(k) \leq m$，仅需对 $S_m$ 的 $n^k - 1$ 行进行移位操作。

此外，当步骤 5 替换为步骤 5’时，该算法可用于寻找 $f$ 的零化子 $g$（即 $fg = 0$）：若 $|D| = |S_d|$，则返回 $g = 0$，表示不存在次