20、克洛斯特曼和、椭圆曲线与最优跳频序列研究

克洛斯特曼和、椭圆曲线与最优跳频序列研究

1. 克洛斯特曼和与椭圆曲线相关研究

在计算克洛斯特曼和 $K(a)$ 时，在主频为 3.0 GHz 的英特尔至强 CPU 上，对于随机的 $a \in F_{2^{800}}$，计算 $K(a)$ 仅需约 3 秒。若仅需证明对于给定的 $a \in F_{p^m}$（$p \in {2, 3}$）有 $K(a) = 0$，则无需使用复杂的快速点计数算法。此时，椭圆曲线的群同构于 $Z_{p^m}$，可尝试猜测该群的生成元 $P$。由于存在 $(p - 1)p^{m - 1}$ 个生成元，成功的概率较大。若 $P$ 确实是生成元，可通过对 $i = 1, 2, \cdots, m$ 计算 $p^iP$ 来验证，在二进制情况下，可利用相关引理进一步简化该过程。

通过上述算法，从随机元素 $a \in F_{p^m}$ 开始，已为每个 $m \leq 64$ 的 $F_{2^m}$ 域和每个 $m \leq 34$ 的 $F_{3^m}$ 域找到了一个克洛斯特曼零点，计算仅花费了几天的 CPU 时间，且这些结果可使用相关系统轻松验证。

例如，设 $F_{2^{64}}$ 构造为 $F_2[X]/(p(X))$，其中 $p(X) = 1 + X + X^3 + X^4 + X^{64}$。对于 $a = 1 + X^6 + X^9 + X^{12} + X^{16} + X^{17} + X^{20} + X^{22} + X^{24} + X^{27} + X^{30} + X^{31} + X^{32} + X^{36} + X^{37} + X^{40} + X^{41} + X^{43} + X^{45} + X^{47} + X^{4