19、循环序列的乘法特征和与克洛斯特曼和的研究

循环序列的乘法特征和与克洛斯特曼和的研究

1. 循环序列的乘法特征和相关理论

1.1 雷德伊函数

雷德伊函数 (R_e(X)) 是 (IF_p) 的一个置换，当且仅当 (\gcd(e, p + 1) = 1)。这些置换的集合关于复合运算构成一个群，该群同构于 (\mathbb{Z} {p + 1}) 的单位群。对于指标 (m)、(n)，若 (\gcd(m, p + 1) = \gcd(n, p + 1) = 1)，则对于所有 (u \in IF_p)，有 (R_m(R_n(u)) = R {mn}(u) = R_n(R_m(u)))。

1.2 生成序列

考虑由 (u_{n + 1} = R_e(u_n))（(n \geq 0)，(\gcd(e, p + 1) = 1)）定义的生成器 ((u_n))，其中 (R_e(X)) 是雷德伊置换，(u_0 \in IF_p) 是初始元素。序列 ((u_n)) 是纯周期的，周期长度 (T) 整除 (\varphi(p + 1))，其中 (\varphi) 表示欧拉函数。

1.3 预备引理

• 引理 1 ：对于任意集合 (K \subseteq U_t)（(#K = K)）、任意固定的 (1 \geq \delta > 0) 和任意整数 (h \geq t^{\delta})，存在整数 (r \in U_t)，使得同余式 (rk \equiv y \pmod{t})（(k \in K)，(0 \leq y \leq h - 1)）有 (L_r(h) \gg \frac{Kh}{t}) 个解 ((k, y))。