17、数字信号与序列的群表示设计：海森堡系统与振荡器系统解析

数字信号与序列的群表示设计：海森堡系统与振荡器系统解析

在数字信号处理领域，海森堡系统和振荡器系统是两个重要的概念。它们基于群表示理论构建，在雷达、通信等领域有着广泛的应用。下面将详细介绍这两个系统的相关内容。

海森堡系统

海森堡系统是一个经典的数字信号系统，它的构建和特性可以通过群表示理论来解释。

基础定义

设 $\psi : F_p \to C^{\times}$ 为特征函数，$\psi(t) = e^{\frac{2\pi i}{p}t}$。考虑两个正交基 $\Delta = {\delta_a : a \in F_p}$ 和 $\Delta^{\vee} = {\psi_a : a \in F_p}$，其中 $\psi_a(t) = \frac{1}{\sqrt{p}}\psi(at)$。

基的特性

• 时间平移算子 ：定义时间平移算子 $L : H \to H$，$L\phi(t) = \phi(t + 1)$。对于任意 $\tau \in F_p$，$L_{\tau}\phi(t) = \phi(t + \tau)$。$\Delta^{\vee}$ 中的元素是关于 $L$ 作用的特征向量，即 $L_{\tau}\psi_a = \psi(a\tau)\psi_a$。
• 相移算子 ：相移算子 $M : F_p \to U(H)$ 由 $M\phi(t) = \psi(t)\phi(t)$ 生成，$\Delta$ 中的元素是关于 $M$ 作用的特征向量。

海森堡表