15、低相关交织QAM序列的新家族

低相关交织QAM序列的新家族

1. 预备知识

1.1 M² - QAM星座

M² - QAM星座是集合 ${a + i b | -M + 1 \leq a, b \leq M - 1, a, b \text{ 为奇数}}$。当 $M = 2m$ 时，该星座也可表示为 $\left[\sqrt{2}i\right] \sum_{k = 0}^{m - 1} 2^k i a_k$，其中 $a_i \in Z_4$，$\sqrt{2}i$ 表示元素 $(1 + i) = \sqrt{2} \exp(i\frac{2\pi}{8})$。16 - QAM星座如图1所示，这种表示表明四元序列可用于构造这些星座上的低相关序列。

1.2 伽罗瓦环

伽罗瓦环是素环 $Z_p$ 的伽罗瓦扩张。设 $R = GR(4, r)$ 表示 $Z_4$ 的 $r$ 次伽罗瓦扩张。$R$ 是具有单位元的交换环，包含由元素2生成的唯一极大理想 $M = 2R$。商环 $R/M$ 同构于有限域 $F_q$，其中 $q = 2^r$。作为乘法群，$R$ 的单位元集合 $R^ $ 具有结构 $R^ \cong Z_{2^r - 1} \times F_2 \times F_2 \cdots \times F_2$（$r$ 次）。设 $\xi$ 是 $R^*$ 中同构于 $Z_{2^r - 1}$ 的乘法循环子群的生成元，$T = {0, 1, \xi, \cdots, \xi^{2^r - 2}}$ 称为 $F_q$ 在 $R$ 中的泰希米勒代表集。

1.3 序列相关性定义

序列族的最大非平凡相关幅度定义为：
$\t