10、一类非二元码与序列族的研究

一类非二元码与序列族的研究

1. 引言

在编码理论和序列设计领域，非二元码和序列族的研究具有重要意义。本文聚焦于一类满足特定条件的非二元 Kasami 码 $C_k$，深入探讨其性质，包括根的性质、秩分布、重量分布以及相关序列族的相关性。

2. 预备知识与主要结果

2.1 基本概念

• 有限域与向量空间 ：有限域 $F_q$ 是 $F_p$ 上的 $n$ 维向量空间。对于给定的基 ${\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n}$，每个元素 $x \in F_q$ 可唯一表示为 $x = \sum_{i = 1}^{n} x_i\alpha_i$，其中 $x_i \in F_p$。在此表示下，$F_q$ 等同于 $F_p$ - 向量空间 $F_p^n$。
• 二次型 ：$F_{p^n}$ 上的函数 $f(x)$ 若能写成 $F_p^n$ 上的二次齐次多项式，即 $f(x_1, \cdots, x_n) = \sum_{1 \leq i \leq j \leq n} a_{ij}x_ix_j$，其中 $a_{ij} \in F_p$，则称 $f(x)$ 为二次型。其秩定义为 $F_p$ - 向量空间 $V_f = {z \in F_{p^n} | f(x + z) = f(x) \text{ 对所有 } x \in F_{p^n}}$ 的余维数，记为 $\text{rank}(f)$，且 $|V_f| = p^{n - \text{rank}(f)}$。
• 二次型的矩阵表示