8、序列的算术相关性及幂与本原元分布研究

序列的算术相关性及幂与本原元分布研究

在数学和计算机科学领域，序列的相关性以及有限域中幂和本原元的分布是重要的研究课题。本文将深入探讨序列的算术相关性，以及有限域中幂和本原元在不同序列中的分布情况。

有限域中序列的特征和分布

• 伪随机性分析 ：对于有限域 (F_q) 上的“真正”随机序列 ((y_n)) 和非平凡乘法特征 (\chi)，(\sum_{n = 0}^{N - 1} \chi(y_n)) 的期望值为 (\theta(N^{1/2}))。通过标准技术，从相关结果可以推导出序列 ((u_n)) 和 ((x_n)) 中幂和本原元的“平均”分布结果，这为寻找有限域中非幂和本原元的高效确定性算法提供了进一步的步骤。
• 逆序列特征和的界
  • 定理 1 ：设 (\chi) 是 (F_q) 的非平凡乘法特征，对于 (1 \leq N \leq T_{a,b})，有 (S_{\chi,a,b}(N) = O(\max{N^2q^{1/2}, Nq}))。
  • 证明思路 ：首先将 (S_{\chi,a,b}(N)) 展开为双重求和形式，通过分析 (n = k) 和 (n \neq k) 的情况进行化简。引入 (d = n - k)，并定义多项式 (F_d(X))，通过比较 (\sum_{\vartheta \in F_q} \chi(\psi_d(\vartheta)\vartheta^{q - 2})) 和 (\sum_{\vartheta \in F_q} \chi(F