幂运算的最少乘法次数

对于幂运算，我们知道采取分治法的时间复杂度为Θ(lg n)

即 a^n=(a^(n/2))^2，递归式为T(n)=T(n/2)+Θ(1)

解得T(n)=Θ(lg n)

但是具体对于指数n，我们要计算多少次乘法，我们来讨论这个问题

首先将指数n展开为2的次幂形式

设C0=int(lg(n))

则n=Σ(i=0,1,2...C0) Ki*2^i , 其中Ki=0,1

比如7=1*2^2+1*2^1+1*2^0=2^2+2^1+2^0

a^7=a^(2^2+2^1+2^0)

需要计算4次乘法，a^2,  a^2*a^2,  a^4*a^2,  a^6*a

总次数Count=C0+ΣKi,   i=0,1,2,...(C0-1)

写成C/C++就是下面的代码

输入指数n，返回最少需要的乘法次数Count

#include <math.h>

int powerCount(int n)
{
    int count = 0;
    int c=(int)(log(n)/log(2));
    count=count+c;

    while((n=n-pow(2,c))>0)
    {
        c=(int)(log(n)/log(2));
        count++;
    }

    return count;
}