GMSSL ：SM2椭圆曲线公钥密码算法——数字签名算法4

2021SC@SDUSC

目录

一、ECDSA介绍

二、代码分析

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一、ECDSA介绍

ECDSA的全名是Elliptic Curve DSA，即椭圆曲线DSA。它是Digital Signature Algorithm (DSA)应用了椭圆曲线加密算法的变种。椭圆曲线算法的原理很复杂，但是具有很好的公开密钥算法特性，通过公钥无法逆向获得私钥。

与ECDSA相关的几个概念：

私钥：一个秘密号码，只有生成它的人知道。私钥本质上是一个随机生成的数字。在比特币中，一个人的私钥与区块链可以花这笔钱。在比特币中，私钥是单个无符号256位整数（32字节）。

公钥：与私钥相对应，但不需要保密的数字。公钥可以从私钥计算，但反之亦然。公钥可以用来确定签名是否是真实的（换句话说，用正确的密钥生成），而不需要泄露私钥。

ECDSA算法的两个优点：
1.在已知公钥的情况下，无法推导出该公钥对应的私钥。
2.可以通过某些方法来证明某人拥有一个公钥所对应的私钥，而此过程不会暴露关于私钥的任何信息。

ESCDA处理的实际上是消息的哈希值，而不是消息本身。哈希函数是可选择的，但这个哈希函数必须是一个

密码学安全的哈希函数。消息的哈希值需要截取一个固定的长度 Ln ，这个长度是 n （子群的阶）的二进制位数。截取后的哈希值是一个整数，我们记为 z。

  ECDSA签名流程：

1. 在 {1,2.......,n-1}随机选择一个整数  k（  n​ 是子群的阶）
2. 计算点 P=kG (其中 G是子群的基点)
3. 计算  r=xp mod n（其中 xp是  P​ 点的横坐标）
4. 如果 r=0  ，就重新选择一个k，然后再尝试一次同样的流程
5. 计算  ​（其中dA 是Alice的私钥, k^n-1是  k在模n下的乘法逆元）
6. 如果  s=0，就重新选择一个 k​ 然后再尝试一次同样的流程

 二元组（r,s）就是消息的签名

在多倍点运算中,已知多倍点与基点,求解倍数的问题称为椭圆曲线离散对数问题。对于一般椭圆曲线的离散对数问题,目前只存在指数级计算复杂度的求解方法。与大数分解问题及有限域上离散对数问题相比,椭圆曲线离散对数问题的求解难度要大得多。因此,在相同安全程度要求下，椭圆曲线密码较其他公钥密码所需的密钥规模要小得多。

ECDSA优点证明：

1.在已知公钥的情况下，无法推导出该公钥对应的私钥。

假设随机取一个0-256位之间的值x，计算x*P，最后的结果一定会落在曲线上的一点。假设该点为X，在公开X以及具体曲线的方程的情况下，能否反推出最初的随机值x？
证：寻找x的过程只能通过暴力计算，