数学序列与生成函数变换解析

1、给出一个短序列的例子，该序列是对数凹的，但相关多项式(p(x))有复根。

一个例子是(3x^3 + 5x^2 + 7x + 3)。

2、证明生成函数为f(x)的序列an的二项式变换的生成函数是(1 / (1 - x)) f (x / (1 - x))。

将以下内容展开：

$$
\left( \frac{1}{1 - x} \right) f \left( \frac{x}{1 - x} \right)
$$

详细展开为：

$$
\left( \frac{1}{1 - x} \right) f \left( \frac{x}{1 - x} \right) = \left( \frac{1}{1 - x} \right) \sum_{n = 0}^{\infty} a_n \left( \frac{x}{1 - x} \right)^n = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_n x^n}{(1 - x)^{n + 1}}
$$

又因为：

$$
\frac{1}{(1 - x)^{n + 1}} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(n + k)!}{n! k!} x^k = \sum_{k = 0}^{\infty} C(n + k, n) x^k
$$

所以：

$$
\left( \frac{1}{1 - x} \right) f \left( \frac{x}{1 - x} \right)
$$

是序列 $ a_n $ 的二项式变换的生成函数，即欧拉变换公式成立。

3、计算欧拉三角形的前五行。

下面是给定的【文本内容】：
- 第一行：n = 1，k = 1时为0；
- 第二行：n = 2，k = 1时为1，k = 2时为0；
- 第三行：n = 3，k = 1时为4，k = 2时为1，k = 3