17、介观电路系统的量子理论探究

介观电路系统的量子理论探究

1. 介观电路的研究背景与重要性

近年来，随着纳米技术和微电子学的飞速发展，介观电路受到了物理学家的广泛关注。对于最基本的包含电源的无耗散介观 LC 电路，可将电容器某一极板上的电荷量 q 量化为坐标算子 Q，将通过线圈的磁通量 Φ（= LI）量化为动量算子 P，这样介观 LC 电路就可视为一维简单量子谐振子。

目前，随着量子信息技术的进步，包含约瑟夫森结的介观电路越来越能满足量子信息中对固态量子比特的需求。这主要是因为约瑟夫森结具有以下三个优点：
- 约瑟夫森结具有良好的非线性，可实现量子纠缠。量子纠缠是量子信息中的重要物理资源，许多协议都是基于量子纠缠态实现的。
- 约瑟夫森结能够实现量子比特，且易于集成形成大规模电路，因此被认为是最有可能实现量子计算机的理想载体之一。
- 单个约瑟夫森结电荷量子比特的短时间退相干特性为制造量子计算机硬件提供了不错的选择。

2. 约瑟夫森结的原理与相关理论

从原理上讲，约瑟夫森结是由两个超导体弱连接形成的结构。费曼指出，对于这样的结，其电子对可视为玻色子，几乎所有电子对都精确地锁定在相同的最低能量状态，这些电子对被称为库珀对。费曼认为每个超导体的超导态可用波函数 ψi = √ρieiθi（i = 1, 2）描述，其中 θi 是相应超导序列的相位，ρi 是第 i 个极板上的电子密度，并且强调结电流与两个极板之间的相位差 θ = θ2 - θ1 有关。随后，沃尔达斯认为上述相位差 θ 应是一个能很好描述系统量子力学性质的量子变量。

基于费曼的库珀对假设和沃尔达斯对相位差的量子解释，有人引入了相位算子的玻色子形式，并得到了约瑟夫森结的玻色子 - 哈密顿模型。下面将借助连续变量纠缠态表示和相位算子的玻色子表示，介绍几种有无约瑟夫森结的介观电路的库珀对数 - 相位量化方案，并进一步讨论其特征振荡频率、量子噪声、修正的约瑟夫森算子方程等内容。

3. 介观 LC 电路的量子理论

3.1 单个介观 LC 电路

在介观 LC 电路中，若将电容器某一极板上的电荷量 q 视为广义坐标，且考虑 q = en（n 为电子数），则系统的势能（即电容器中存储的静电能）为：
[V = \frac{q^2}{2C} = \frac{1}{2C} e^2n^2]
系统的动能（即电感器中存储的磁能）为：
[T = \frac{1}{2} LI^2 = \frac{1}{2} L (\frac{dq}{dt})^2 = \frac{1}{2} Le^2 \dot{n}^2]
因此，系统的拉格朗日函数 L 为：
[L = T - V = \frac{1}{2} Le^2 \dot{n}^2 - \frac{e^2n^2}{2C}]
相应地，与电子数 n 共轭的经典正则动量 p 为：
[p = \frac{\partial L}{\partial \dot{n}} = Le^2 \dot{n}]
此外，存在以下关系：
[e\dot{n} = I = \frac{\varphi}{L}]
其中 φ 是电感器内部的磁通量。将上式代入 p 的表达式，可得到经典正则动量 p 与磁通量 φ 的关系：
[p = e\varphi]
根据法拉第电磁感应定律，电压 u 与磁通量 φ 的时间演化关系为：
[\frac{d\varphi}{dt} = u]
从量子力学波函数的角度来看，该电压与电容器两个极板在某一时间间隔 dt 内的相位差有关。假设每个极板的波函数为：
[\psi_i = \varphi_i e^{iE_it/\hbar} = \varphi_i e^{i\omega_it} = \varphi_i e^{i\theta_i}, (i = 1, 2)]
其中 θi 是第 i 个极板波函数的相位。注意到：
[d\theta_i = \frac{E_i}{\hbar}dt]
则有：
[d\theta = d (\theta_2 - \theta_1) = \frac{E_2 - E_1}{\hbar} dt = -\frac{eu}{\hbar}dt]
其中 θ = θ2 - θ1 是两个极板波函数的相位差。将 (\frac{d\varphi}{dt} = u) 代入上式并结合 (p = e\varphi)，可得：
[p = \hbar\theta]
所以，可以确定 (\hbar\theta) 是正则动量，粒子 n 是其正则共轭坐标。因此，对于单个介观 LC 电路，标准量化条件为：
([\hat{n}, \hbar\hat{\theta}] = i\hbar)
或
([\hat{n}, \hat{\theta}] = i)
并且，粒子数算子 (\hat{n}) 和相位算子 (\hat{\theta}) 满足不确定关系：
(\Delta\hat{n}\Delta\hat{\theta} \geq \frac{1}{2})
这意味着存在量子涨落。实际上，上述可观测物理变量 n、θ 对应的量子力学算子分别是电容器一个极板上的电子数 (\hat{n}) 和两个极板波函数的相位差 (\hat{\theta})。因此，单个介观 LC 电路的量化实际上属于数 - 相位量化的范畴。

此外，根据 (p = e\varphi) 和 (p = \hbar\theta)，磁通量 φ 被量化为算子 (\hat{\varphi} = \frac{\hbar\hat{\theta}}{e})，这与沃尔达斯对外部微波与超导环耦合系统的分析一致（即总磁通量与超导结两个极板之间的相位差有关）。利用算子 (\hat{n}) 和 (\hbar\hat{\theta})，可得到介观 LC 电路的哈密顿算子为：
[H = T + V \to \hat{H} = \frac{1}{2} \frac{\hbar^2 \hat{\theta}^2}{e^2L} + \frac{e^2 \hat{n}^2}{2C}]
在海森堡绘景中，利用海森堡方程可得：
[\frac{d\hat{n}}{dt} = \frac{\hbar\hat{\theta}}{e^2L}]
[\hbar\frac{d\hat{\theta}}{dt} = -\frac{e^2 \hat{n}}{C}]
这分别对应电流方程和法拉第电磁感应定律。由上述方程可得：
[\frac{d^2 \hat{n}}{dt^2} = -\frac{\hat{n}}{LC}]
其标准解为：
[\hat{n} = \hat{n} (t = 0) e^{it/\sqrt{LC}}]
显然，单个介观 LC 电路存在电磁共振特性。

接下来，比较单个介观 LC 电路的数 - 相位量化与约瑟夫森结的数 - 相位量化。费曼认为库珀对可视为具有玻色子行为的束缚对。后来，廷克汉姆给出了描述约瑟夫森结的哈密顿量为：
[H = -\frac{1}{2} E_c\partial^2_{\phi} + E_j (1 - \cos \phi)]
其中 (E_j) 是约瑟夫森耦合能，(E_c = \frac{q^2}{C}) 是库仑耦合能（其中 C 是结的等效电容，q = 2e 是库珀对的电荷），(\phi) 是约瑟夫森结两个极板之间的相位差。为方便起见，这里取约化普朗克常数 (\hbar = 1)。此外，沃尔达斯等人指出，为了描述系统的量子性质，约瑟夫森结两个极板之间的相位差应是一个量子参数。受上述结果的启发，引入库珀对数算子：
[\hat{N} d \equiv a^{\dagger}a - b^{\dagger}b]
和相位算子：
[e^{i\hat{\Phi}} \equiv \frac{a - b^{\dagger}}{a^{\dagger} - b}]
值得注意的是，相位算子 (\hat{\Phi}) 对应相位差 (\phi)，由于 ([a - b^{\dagger}, a^{\dagger} - b] = 0)，这两个算子可以同时出现在根号 √ 中。因此，描述约瑟夫森结的哈密顿算子为：
[\hat{H} = \frac{E_c}{2} \hat{N}_d^2 + E_j (1 - \cos \hat{\Phi})]
[\cos \hat{\Phi} = \frac{1}{2} (e^{i\hat{\Phi}} + e^{-i\hat{\Phi}})]
其中 (E_j = \frac{\hbar I {cr}}{2e})，(I_{cr}) 是约瑟夫森结的临界电流，(\frac{E_c \hat{N} d^2}{2}) 是结等效电容中存储的能量，(E_j \cos \hat{\Phi}) 是库珀对的隧穿耦合能，(\cos \hat{\Phi}) 是用于描述约瑟夫森结两个极板之间相位差 (\phi) 的相位算子函数。利用哈密顿算子和海森堡方程，可得到约瑟夫森算子方程。利用玻色子算子对易关系 ([a, a^{\dagger}] = [b, b^{\dagger}] = 1)，可得：
([\hat{N}_d, \hat{\Phi}] = i)
这与单个介观 LC 电路的关系 ([\hat{n}, \hat{\theta}] = i) 类似。实际上，该关系可以通过纠缠态 |η⟩ 表示进行验证。注意到态 |η⟩ 满足完备性关系：
(\frac{1}{\pi} \int d^2\eta |\eta⟩⟨\eta| = 1)
和本征方程：
((a - b^{\dagger}) |\eta⟩ = \eta |\eta⟩)
((b - a^{\dagger}) |\eta⟩ = -\eta^ |\eta⟩)
因此，有：
(\langle\eta| e^{-i\hat{\Phi}} = \langle\eta| e^{-i\phi})
(\langle\eta| \hat{\Phi} = \phi \langle\eta|)
这表明 (\hat{\Phi}) 或 (e^{-i\hat{\Phi}}) 是相位算子。此外，在纠缠态 ⟨η| 表示中，算子 (\hat{N}_d) 恰好对应与变量 (\phi) 的微分关系，即：
(\langle\eta| \hat{N}_d = |\eta| \langle00| (e^{-i\phi}a + e^{i\phi}b) \exp (-\frac{|\eta|^2}{2} + \eta^ a - \eta b + ab) = i \frac{\partial}{\partial\phi} \langle\eta|)
因此，在纠缠态 ⟨η| 表示中，存在对易关系：
([\hat{N}_d, \hat{\Phi}] = [i \frac{\partial}{\partial\phi}, \phi] = i)
将哈密顿算子 (\hat{H}) 投影到态 ⟨η| 上，可得：
(\langle\eta| \hat{H} = (-\frac{1}{2} E_c\partial^2 {\phi} + E_j (1 - \cos \phi)) \langle\eta| = H \langle\eta|)

3.2 互感耦合介观 LC 电路

3.2.1 电荷 - 磁通量量化方案

互感耦合介观 LC 电路如图 1 所示。若选择 (q_1) 和 (q_2) 作为广义坐标，则系统的拉格朗日函数可表示为：
[L = \frac{1}{2} (l_1I_1^2 + l_2I_2^2) + mI_1I_2 - \frac{1}{2} (\frac{q_1^2}{c_1} + \frac{q_2^2}{c_2})]
其中 m 是电感 (l_1) 和 (l_2) 之间的互感耦合系数，(0 < m < \sqrt{l_1l_2})。从该式可得到系统的广义动量为：
[p_1 = \frac{\partial L}{\partial \dot{q} 1} = l_1I_1 + mI_2]
[p_2 = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_2} = l_2I_2 + mI_1]
显然，上述两个广义动量 (p_1) 和 (p_2) 本质上是磁通量。因此，系统的哈密顿量 H 为：
[H = p_1 \dot{q}_1 + p_2 \dot{q}_2 - L = \frac{1}{2} (l_1I_1^2 + l_2I_2^2) + mI_1I_2 + \frac{1}{2} (\frac{q_1^2}{c_1} + \frac{q_2^2}{c_2}) = \frac{1}{2A} (\frac{p_1^2}{l_1} + \frac{p_2^2}{l_2}) - \frac{m}{Al_1l_2} p_1 p_2 + \frac{1}{2} (\frac{q_1^2}{c_1} + \frac{q_2^2}{c_2})]
其中：
[A = 1 - \frac{m^2}{l_1l_2}, m^2 < l_1l_2]
赋予量化条件 ([\hat{q}_i, \hat{p}_j] = i\hbar\delta {i,j})，经典哈密顿量 H 被量化为哈密顿算子 (\hat{H})。此外，式中动量算子的耦合项 (\frac{m}{Al_1l_2} \hat{p}_1 \hat{p}_2) 的存在意味着系统中存在量子纠缠。

为了解除哈密顿算子 (\hat{H}) 的纠缠，在坐标态 |(q_i)⟩ 表示中构造幺正算子 (\hat{U}) 为：
(\hat{U} = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} dq_1 dq_2 |u (\frac{q_1}{q_2}) \rangle \langle \frac{q_1}{q_2} |, det u = 1)
其中 (\langle \frac{q_1}{q_2} |) 是双模坐标本征态，因此有：
(\hat{q} i | \frac{q_1}{q_2} \rangle = q_i | \frac{q_1}{q_2} \rangle, u = \begin{pmatrix} u {11} & u_{12} \ u_{21} & u_{22} \end{pmatrix})
该式表明量子力学在希尔伯特空间中的幺正算子 (\hat{U}) 由经典矩阵 u 映射得到。根据该式，算子 (\hat{q} i) 的变换规则为：
(\hat{U} \begin{pmatrix} \hat{q}_1 \ \hat{q}_2 \end{pmatrix} \hat{U}^{\dagger} = u^{-1} \begin{pmatrix} \hat{q}_1 \ \hat{q}_2 \end{pmatrix})
利用双模动量本征态的完备性关系：
(\int {-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} dp_1 dp_2 | \frac{p_1}{p_2} \rangle \langle \frac{p_1}{p_2} | = 1)
也可以在动量表示中定义幺正算子 (\hat{U}) 的形式为：
(\hat{U} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} dp_1 dp_2 \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} dq_1 dq_2 | \frac{p_1}{p_2} \rangle \langle \frac{q_1}{q_2} | \exp (-i \sum_{j} u^T p_j q_j) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} dp_1 dp_2 | \frac{p_1}{p_2} \rangle \langle u^T \frac{p_1}{p_2} |)
由此可得变换关系：
(\hat{U} \begin{pmatrix} \hat{p} 1 \ \hat{p}_2 \end{pmatrix} \hat{U}^{\dagger} = u^T \begin{pmatrix} \hat{p}_1 \ \hat{p}_2 \end{pmatrix})
选择如下试探解：
(u = \begin{pmatrix} 1 & E \ G & H \end{pmatrix}, det u = H - EG = 1)
其中 H、E、G 待确定，可得矩阵变换关系：
((u^T)^{-1} = \begin{pmatrix} H & -G \ -E & 1 \end{pmatrix})
在幺正算子 (\hat{U}) 的作用下，算子 (\hat{q}_1)、(\hat{q}_2)、(\hat{p}_1) 和 (\hat{p}_2) 的幺正变换为：
(\hat{q}_1 \to \hat{U}^{\dagger} \hat{q}_1 \hat{U} = \hat{q}_1 + E \hat{q}_2)
(\hat{q}_2 \to \hat{U}^{\dagger} \hat{q}_2 \hat{U} = G \hat{q}_1 + H \hat{q}_2)
(\hat{p}_1 \to \hat{U}^{\dagger} \hat{p}_1 \hat{U} = H \hat{p}_1 - G \hat{p}_2)
(\hat{p}_2 \to \hat{U}^{\dagger} \hat{p}_2 \hat{U} = -E \hat{p}_1 + \hat{p}_2)
借助上述变换，哈密顿算子 (\hat{H}) 的幺正变换可写为：
(\hat{U}^{\dagger} \hat{H} \hat{U} = \frac{(H \hat{p}_1 - G \hat{p}_2)^2}{2Al_1} + \frac{(-E \hat{p}_1 + \hat{p}_2)^2}{2Al_2} - \frac{m}{Al_1l_2} (H \hat{p}_1 - G \hat{p}_2) (-E \hat{p}_1 + \hat{p}_2) + \frac{(\hat{q}_1 + E \hat{q}_2)^2}{2c_1} + \frac{(G \hat{q}_1 + H \hat{q}_2)^2}{2c_2})
为了消除上式中的纠缠项 (\hat{p}_1 \hat{p}_2) 和 (\hat{q}_1 \hat{q}_2)，需要满足：
(l_2HG + l_1E + m (GE + H) = 0)
和
(c_2E + c_1GH = 0)
结合条件 (H - EG = 1)，可得：
[H = \frac{c_2}{c_2 + c_1G^2}]
[E = \frac{-Gc_1}{c_2 + c_1G^2}]
[HG = \frac{c_2G}{c_2 + c_1G^2} = -\frac{c_2}{c_1} E]
将 (HG = -\frac{c_2}{c_1} E) 代入 (l_2HG + l_1E + m (GE + H) = 0)，可得：
(-\frac{l_2c_2}{c_1} E + l_1E + m (2EG + 1) = 0)
同样，将 (E = \frac{-Gc_1}{c_2 + c_1G^2}) 代入上式，可得：
(mc_1G^2 + G (l_1c_1 - l_2c_2) - mc_2 = 0)
其解为：
[G = \frac{(l_2c_2 - l_1c_1) \pm \sqrt{(l_2c_2 - l_1c_1)^2 + 4m^2c_1c_2}}{2mc_1}]
不失一般性，仅讨论取负号“ - ”的情况，令 ((c_2l_2 - c_1l_1)^2 + 4m^2c_2c_1 \equiv \Delta)，则三个待定参数 H、E、G 为：
[G = \frac{c_2l_2 - c_1l_1 - \sqrt{\Delta}}{2mc_1} = \frac{-2mc_2}{\sqrt{\Delta} + c_2l_2 - c_1l_1}]
[E = \frac{c_1m}{\sqrt{\Delta}}]
[H = \frac{\sqrt{\Delta} - (c_1l_1 - c_2l_2)}{2\sqrt{\Delta}}]
所以，幺正算子 (\hat{U}) 的具体形式为：
(\hat{U} = \int {-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} dq_1 dq_2 | \begin{pmatrix} 1 & E \ G & H \end{pmatrix} \begin{pmatrix} q_1 \ q_2 \end{pmatrix} \rangle \langle \begin{pmatrix} q_1 \ q_2 \end{pmatrix} |)

接下来，计算电感耦合介观 LC 电路的特征振荡频率。利用幺正算子 (\hat{U})，哈密顿算子 (\hat{H}) 变为：
(\hat{U}^{\dagger} \hat{H} \hat{U} = \frac{\hat{p} 1^2}{2Al_1l_2} (l_2H^2 + l_1E^2 + 2mHE) + \frac{\hat{p}_2^2}{2Al_1l_2} (l_2G^2 + l_1 + 2mG) + \frac{\hat{q}_1^2}{2} (\frac{1}{c_1} + \frac{G^2}{c_2}) + \frac{\hat{q}_2^2}{2} (\frac{E^2}{c_1} + \frac{H^2}{c_2}))
由参数表达式可得：
[l_2H^2 + l_1E^2 + 2mHE = \frac{m^2c_1G - mc_2l_2}{G\sqrt{\Delta}}]
[l_2G^2 + l_1 + 2mG = -\frac{(l_2G + m)\sqrt{\Delta}}{mc_1}]
[\frac{1}{c_1} + \frac{G^2}{c_2} = \frac{c_2 + c_1G^2}{c_1c_2} = -\frac{G}{Ec_2}]
[\frac{E^2}{c_1} + \frac{H^2}{c_2} = -\frac{m}{G\sqrt{\Delta}}]
将上述结果代入哈密顿算子变换式，可得：
(\hat{U}^{\dagger} \hat{H} \hat{U} = \frac{m^2c_1G - mc_2l_2}{2Al_1l_2G\sqrt{\Delta}} \hat{p}_1^2 - \frac{G}{2Ec_2} \hat{q}_1^2 - \frac{(l_2G + m)\sqrt{\Delta}}{2Al_1l_2mc_1} \hat{p}_2^2 - \frac{m}{2G\sqrt{\Delta}} \hat{q}_2^2)
将参数代入并与标准谐振子的哈密顿算子 (\frac{\hat{p}^2}{2\mu} + \frac{\mu\omega^2 \hat{q}^2}{2}) 进行比较，可得两个特征频率为：
[\omega +^2 = \frac{c_2l_2 + c_1l_1 + \sqrt{\Delta}}{2Al_1l_2c_1c_2}]
[\omega_-^2 = \frac{c_2l_2 + c_1l_1 - \sqrt{\Delta}}{2Al_1l_2c_2c_1}]
由于 (A = 1 - \frac{m^2}{l_1l_2})，上述两个方程可合并为：
(\omega_{\pm}^2 = \frac{c_2l_2 + c_1l_1 \pm \sqrt{\Delta}}{2c_2c_1(l_1l_2 - m)})

最后，使用 IWOP 方法研究电路系统在压缩真空态下的量子噪声。为此，需要对 (\hat{U}) 的表达式进行积分以得到其显式。引入以下产生和湮灭算子：
[a_i = \frac{\hat{q} i + i \hat{p}_i}{\sqrt{2}}]
[a_i^{\dagger} = \frac{\hat{q}_i - i \hat{p}_i}{\sqrt{2}}]
其中使用了自然单位制，即令 (m_i = \omega_i = \hbar = 1)。回顾坐标本征态 ⟨(q_i)⟩ 在福克空间中的表达式：
(\langle q_i | = \frac{1}{\pi^{1/4}} \langle 0 | \exp (-\frac{q_i^2}{2} + \sqrt{2}q_ia_i - \frac{a_i^2}{2}))
其满足完备性关系：
(\int {-\infty}^{\infty} dq_i |q_i\rangle\langle q_i| = 1)
因此，使用福克空间中的双模坐标本征态：
(\langle q_1, q_2 | = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \langle 00 | \exp (-\frac{1}{2} (q_1^2 + q_2^2) + \sqrt{2} (q_1a_1 + q_2a_2) - \frac{1}{2}a_1^2 - \frac{1}{2}a_2^2))
和双模真空态投影算子的正规序乘积：
(|00\rangle\langle00| = : \exp (-a_1^{\dagger}a_1 - a_2^{\dagger}a_2) :)
可得 (\hat{U}) 的正规序乘积为：
(\hat{U} = \frac{2}{\sqrt{L}} \exp (\frac{1}{2L} ((1 + E^2 - G^2 - H^2) (a_1^{\dagger 2} - a_2^{\dagger 2}) + 4 (G + EG) a_1^{\dagger}a_2^{\dagger})) : \exp (\begin{pmatrix} a_1^{\dagger} & a_2^{\dagger} \end{pmatrix} (g - 1) \begin{pmatrix} a_1 \ a_2 \end{pmatrix}) : \exp (\frac{1}{2L} ((E^2 + H^2 - 1 - G^2) (a_1^2 - a_2^2) + 4 (G + EH) a_1a_2)))
其中：
[L = E^2 + G^2 + H^2 + 3]
[g = \frac{2}{L} \begin{pmatrix} 1 + HE - G & G - E \ G - E & 1 + H \end{pmatrix}, 1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}]
将算子 (\hat{U}) 作用于双模真空态 |00⟩，可得：
(\hat{U} |00\rangle = \frac{2}{\sqrt{L}} \exp (\frac{1}{2L} ((1 + E^2 - G^2 - H^2) (a_1^{\dagger 2} - a_2^{\dagger 2}) + 4 (G + EH) a_1^{\dagger}a_2^{\dagger})) |00\rangle)
这显然是一个广义双模压缩态。此外，由于存在耦合项 (\exp (4 (G + EH) a_1^{\dagger}a_2^{\dagger}))，态 (\hat{U} |00\rangle) 可被视为纠缠态。

为了研究量子态 (\hat{U} |00\rangle) 的涨落特性，定义以下两个分量：
[X_1 = \frac{1}{2} (\hat{q}_1 + \hat{q}_2)]
[X_2 = \frac{1}{2} (\hat{p}_1 + \hat{p}_2)]
注意到 (\langle00| \hat{q}_i |00\rangle = 0) 和 (\langle00| \hat{p}_i |00\rangle = 0)，因此有：
(\langle00| \hat{q}_i^2 |00\rangle = \frac{1}{2})
(\langle00| \hat{p}_i^2 |00\rangle = \frac{1}{2})
进一步，利用关系：
(\hat{U}^{\dagger}X_1 \hat{U} = \frac{1}{2} (1 + G) \hat{q}_1 + \frac{1}{2} (H + E) \hat{q}_2)
(\hat{U}^{\dagger}X_2 \hat{U} = \frac{1}{2} (H - E) \hat{p}_1 + \frac{1}{2} (1 - G) \hat{p}_2)
可得分量 (X_1) 和 (X_2) 的均方涨落为：
(\Delta X_1^2 = \langle00| \hat{U}^{\dagger}X_1^2 \hat{U} |00\rangle - (\langle00| \hat{U}^{\dagger}X_1 \hat{U} |00\rangle)^2 = \frac{1}{8} ((H + E)^2 + (1 + G)^2))
(\Delta X_2^2 = \langle00| \hat{U}^{\dagger}X_2^2 \hat{U} |00\rangle - (\langle00| \hat{U}^{\dagger}X_2 \hat{U} |00\rangle)^2 = \frac{1}{8} ((H - E)^2 + (1 - G)^2))
由此可得 (X_1) 和 (X_2) 的不确定关系（量子噪声）为：
(\Delta X_1\Delta X_2 = \frac{\hbar}{8} \sqrt{(1 + E^2 - G^2 - H^2)^2 + 4})
其中恢复了常数 (\hbar)，参数 E、G、H 可在前面的表达式中找到。大致来说，互感系数 m 越大，量子噪声越大。

根据上述均方涨落和不确定关系的表达式绘制了三个图，展示了互感系数 m 对量子噪声的影响。这里选择了当前技术容易实现的电路元件，如 (c_1 = c_2 = 6 \times 10^{-17}F)，(l_1 = 10^{-8}H) 和 (l_2 = 10^{-7}H)。从图中可以发现，当 (\Delta X_1^2) 减小时，其对应项 (\Delta X_2^2) 相应增大，这表明两个分量 (X_1) 和 (X_2) 存在压缩现象。图还显示压缩真空的量子噪声随系数 m 的增加而增加，这与理论分析结果一致。考虑到电路的量子纠缠来自互感，因此可以从图中看出，电路的量子纠缠越大，量子噪声越大。

3.2.2 粒子数 - 相位量化方案

在本节中，将使用数 - 相位量化方案对互感耦合介观 LC 电路进行量化。类似于单个介观 LC 电路的量化，假设第 i 个电容器某一极板上的电荷数 (n_i)（(q_i = en_i)，i = 1, 2）被视为广义坐标，则系统的势能为：
[V = \frac{q_1^2}{2C_1} + \frac{q_2^2}{2C_2} = \frac{1}{2C_1} e^2n_1^2 + \frac{1}{2C_2} e^2n_2^2]
系统的总动能为：
[T = \frac{1}{2} L_1I_1^2 + \frac{1}{2} L_2I_2^2 + mI_1I_2 = \frac{1}{2} L_1e^2 \dot{n} 1^2 + \frac{1}{2} L_2e^2 \dot{n}_2^2 + me^2 \dot{n}_1 \dot{n}_2]
因此，拉格朗日函数为：
[L = T - V = \frac{1}{2} L_1e^2 \dot{n}_1^2 + \frac{1}{2} L_2e^2 \dot{n}_2^2 + me^2 \dot{n}_1 \dot{n}_2 - \frac{1}{2C_1} e^2n_1^2 - \frac{1}{2C_2} e^2n_2^2]
相应地，与电荷数 (n_1) 和 (n_2) 共轭的广义动量分别为：
[p_1 = \frac{\partial L}{\partial \dot{n}_1} = L_1e^2 \dot{n}_1 + me^2 \dot{n}_2]
[p_2 = \frac{\partial L}{\partial \dot{n}_2} = L_2e^2 \dot{n}_2 + me^2 \dot{n}_1]
注意到：
[e\dot{n}_1L_1 = \varphi_1]
[e\dot{n}_2m = \varphi {21}]
[e\dot{n} 2L_2 = \varphi_2]
[e\dot{n}_1m = \varphi {12}]
其中 (\varphi_i) 和 (\varphi_{i,j})（i, j = 1, 2，但 i ≠ j）分别是第 i 个电感器的自感磁通量及其与第 j 个电感器的互感磁通量。将上述关系代入广义动量表达式，可得：
[p_i = e (\varphi_i + \varphi_{i,j}) = e\varphi_{i,T}]
这是正则动量 (p_i) 与总磁通量 (\varphi_{i,T}) 之间的关系。同样，根据法拉第电磁感应定律，第 i 个电感器的端电压 (u_i) 为：
(\frac{d\varphi_{i,T}}{dt} = u_i)
类似于单个介观 LC 电路的计算，可得广义动量 (p_i) 为：
[p_i = \hbar\theta_i]
以及规范量化条件：
([\hat{n} i, \hbar\hat{\theta}_j] = i\hbar\delta {ij})
和不确定关系 (\Delta\hat{n} i\Delta\hat{\theta}_i \geq \frac{1}{2})。因此，总磁通量也可以被量化为算子：
(\hat{\varphi} {i,T} = \frac{\hbar}{e} \hat{\theta} i)
电荷数算子 (\hat{n}_i) 和磁通量算子 (\hat{\varphi} {i,T}) 之间的对易关系可写为：
([\hat{n} i, e \hat{\varphi} {j,T}] = [\hat{q} i, \hat{\varphi} {j,T}] = i\hbar\delta_{ij})
其中 (\hat{q}_i) 是电荷算子。

根据上述量化条件，系统的哈密顿算子 (\hat{H}) 为：
[H = T + V \to \hat{H} = -L + \sum_{i} p_i \dot{q}_i = \frac{\hbar^2}{2D} (\frac{\hat{\theta}_1^2}{L_1} + \frac{\hat{\theta}_2^2}{L_2}) - \frac{m\hbar^2}{DL_1L_2} \hat{\theta}_1 \hat{\theta}_2 + \frac{e^2}{2C_1} \hat{n}_1^2 + \frac{e^2}{2C_2} \hat{n}_2^2]
其中 (D = 1 - \frac{m^2}{L_1L_2})。显然，该形式类似于具有运动耦合的谐振子系统的哈密顿算子。类似于处理前面的哈密顿算子，可引入一个新的幺正算子来消除算子 (\hat{H}) 中的耦合项 (-\frac{m\hbar^2}{DL_1L_2} \hat{\theta}_1 \hat{\theta}_2)，并实现算子 (\hat{H}) 的对角化。

接下来，讨论电荷数算子 (\hat{n} i) 和相位差算子 (\hat{\theta}_i) 的时间演化。在海森堡绘景中，电荷数算子 (\hat{n}_1) 和 (\hat{n}_2) 的运动方程为：
(\frac{d\hat{n}_1}{dt} = \frac{1}{i\hbar} [\hat{n}_1, \hat{H}] = \frac{\hbar}{DL_1} \hat{\theta}_1 - \frac{m\hbar}{DL_1L_2} \hat{\theta}_2)
(\frac{d\hat{n}_2}{dt} = \frac{1}{i\hbar} [\hat{n}_2, \hat{H}] = \frac{\hbar}{DL_2} \hat{\theta}_2 - \frac{m\hbar}{DL_1L_2} \hat{\theta}_1)
这表明由于互感耦合，每个 LC 电路中的电流变化受到两个相位算子 (\hat{\theta}_1) 和 (\hat{\theta}_2) 的影响。相位算子 (\hat{\theta}_1) 和 (\hat{\theta}_2) 的运动方程为：
(\frac{d\hat{\theta}_1}{dt} = \frac{1}{i\hbar} [\hat{\theta}_1, \hat{H}] = -\frac{e^2}{\hbar C_1} \hat{n}_1)
(\frac{d\hat{\theta}_2}{dt} = \frac{1}{i\hbar} [\hat{\theta}_2, \hat{H}] = -\frac{e^2}{\hbar C_2} \hat{n}_2)
利用 (\hat{\varphi} {i,T} = \frac{\hbar}{e} \hat{\theta} i) 和相位算子运动方程，可得：
(\frac{d\hat{\varphi} {1,T}}{dt} = -\frac{e}{C_1} \hat{n} 1 = \hat{u}_1)
(\frac{d\hat{\varphi} {2,T}}{dt} = -\frac{e}{C_2} \hat{n}_2 = \hat{u}_2)
这正是互感耦合介观 LC 电路的法拉第电磁感应定律的算子形式，(\hat{u}_i) 是电压算子。

利用电荷数算子和相位算子运动方程，可得：
(\frac{d^2\hat{n} 1}{dt^2} = G \hat{n}_2 + H \hat{n}_1)
(\frac{d^2\hat{n}_2}{dt^2} = J \hat{n}_1 + K \hat{n}_2)
其中：
[G = \frac{me^2}{DL_1L_2C_2}]
[H = -\frac{e^2}{DL_1C_1}]
[J = \frac{me^2}{DL_1L_2C_1}]
[K = -\frac{e^2}{DL_2C_2}]
将上述方程写成矩阵形式，并作用幺正矩阵 (U^{-1})，可得：
(\frac{d^2}{dt^2} U^{-1} \begin{pmatrix} \hat{n}_1 \ \hat{n}_2 \end{pmatrix} = U^{-1} \begin{pmatrix} H & G \ J & K \end{pmatrix} U U^{-1} \begin{pmatrix} \hat{n}_1 \ \hat{n}_2 \end{pmatrix})
在上述方程中，需要满足条件：
(U^{-1} \begin{pmatrix} H & G \ J & K \end{pmatrix} U = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix})
其中幺正矩阵 U 为：
[U = \begin{pmatrix} \frac{G\lambda_1’}{\lambda_1 - H} & \frac{G\lambda_2’}{\lambda_2 - H} \ \lambda_1’ & \lambda_2’ \end{pmatrix}]
(\lambda_i’ = \sqrt{(\frac{G}{\lambda_i - H})^2 + 1})
其两个离散本征值分别为：
(\lambda {1,2} = \frac{(H + K) \pm \sqrt{(H - K)^2 + 4GJ}}{2})
利用相关方程，可得粒子数算子 (\hat{N}) 和 (\hat{N}’) 的时间演化为：
(\hat{N} = \hat{N}_0 e^{\sqrt{\lambda_1}t})
(\hat{N}’ = \hat{N}_0’ e^{\sqrt{\lambda_2}t})
其中 (\hat{N}_0)，(\hat{N}_0’) 是初始粒子数算子，算子 (\hat{N})，(\hat{N}’) 满足以下关系：
(\hat{n}_1 + \frac{G}{\lambda_2 - H} \hat{n}_2 = \frac{\hat{N}}{\lambda_2’})
(\hat{n}_1 + \frac{G}{\lambda_1 - H} \hat{n}_2 = \frac{\hat{N}’}{\lambda_1’})
因此，第 i 个电容器某一极板上的电荷数 (\hat{n}_i) 的时间演化为：
(\hat{n}_1 = \frac{G}{det |U|} (\frac{\lambda_1’ \hat{N}}{\lambda_1 - H} - \frac{\lambda_2’ \hat{N}’}{\lambda_2 - H}))
(\hat{n}_2 = \frac{1}{det |U|} (\lambda_2’ \hat{N}’ - \lambda_1’ \hat{N}))
另一方面，利用电荷数算子和相位算子运动方程，采用类似方法可得第 i 个电容器两个极板之间相位差 (\hat{\theta}_i) 的时间演化为：
(\hat{\theta}_1 = -\frac{e^2G}{\hbar C_1 det |U|} (\frac{\lambda_1’ \hat{N}}{\sqrt{\lambda_1} (\lambda_1 - H)} - \frac{\lambda_2’ \hat{N}’}{\sqrt{\lambda_2} (\lambda_2 - H)}))
(\hat{\theta}_2 = \frac{e^2}{\hbar C_2 det |U|} (\frac{\lambda_1’ \hat{N}}{\sqrt{\lambda_1}} - \frac{\lambda_2’ \hat{N}’}{\sqrt{\lambda_2}}))
其中：
(\lambda_1’ = (\frac{4m^4C_1^4}{(C + D)^2} + 1)^{1/2})
(\lambda_2’ = (\frac{4m^4C_1^4}{(C - D)^2} + 1)^{1/2})
[C = (L_2C_2 - L_1C_1)^2 + 2m^2C_1C_2]
[D = (L_2C_2 - L_1C_1) \sqrt{C + 2m^2C_1C_2}]
显然，从上述电荷数算子和相位差算子的时间演化表达式可以看出，第 i 个介观 LC 电路中的电荷数算子 (\hat{n}_i) 和相位差算子 (\hat{\theta}_i) 与整个电路中的所有自感系数 (L_1)、(L_2)、电容参数 (C_1)、(C_2) 和互感耦合系数 m 有关。

综上所述，介观 LC 电路的量子理论研究涉及多个方面，包括单个介观 LC 电路和互感耦合介观 LC 电路的量化方案。通过对这些电路的研究，我们可以深入了解其电磁特性、量子噪声以及相关算子的时间演化等。这些研究结果对于量子信息和量子计算等领域的发展具有重要意义。

4. 总结与展望

4.1 研究成果总结

• 单个介观 LC 电路 ：通过数 - 相位量化，得到了标准量化条件 ([\hat{n}, \hat{\theta}] = i) 以及粒子数算子和相位算子的不确定关系 (\Delta\hat{n}\Delta\hat{\theta} \geq \frac{1}{2})。推导出了哈密顿算子 (\hat{H} = \frac{1}{2} \frac{\hbar^2 \hat{\theta}^2}{e^2L} + \frac{e^2 \hat{n}^2}{2C})，并发现其存在电磁共振特性，标准解为 (\hat{n} = \hat{n} (t = 0) e^{it/\sqrt{LC}})。
• 互感耦合介观 LC 电路
  • 电荷 - 磁通量量化方案 ：构造幺正算子 (\hat{U}) 解除哈密顿算子的纠缠，得到特征振荡频率 (\omega_{\pm}^2 = \frac{c_2l_2 + c_1l_1 \pm \sqrt{\Delta}}{2c_2c_1(l_1l_2 - m)})。研究了电路系统在压缩真空态下的量子噪声，发现互感系数 m 越大，量子噪声越大。
  • 粒子数 - 相位量化方案 ：得到规范量化条件 ([\hat{n} i, \hbar\hat{\theta}_j] = i\hbar\delta {ij}) 以及电荷数算子和磁通量算子的对易关系 ([\hat{n} i, e \hat{\varphi} {j,T}] = [\hat{q} i, \hat{\varphi} {j,T}] = i\hbar\delta_{ij})。推导了电荷数算子和相位差算子的时间演化，表明它们与整个电路的自感系数、电容参数和互感耦合系数有关。

4.2 研究意义

介观电路的量子理论研究对于量子信息和量子计算等领域的发展具有重要意义。例如，约瑟夫森结的良好非线性和易于集成的特性使其成为实现量子计算机的理想载体之一。通过对介观 LC 电路的量子特性研究，可以更好地理解和控制量子系统，为量子技术的实际应用提供理论支持。

4.3 未来研究方向

• 实验验证 ：目前的研究主要集中在理论推导和分析，未来可以通过实验验证理论结果，进一步探索介观电路的量子特性。
• 多体系统研究 ：可以将研究扩展到多体系统，考虑更多的电路元件和相互作用，以更全面地了解介观电路的量子行为。
• 量子噪声控制 ：针对量子噪声较大的问题，研究有效的量子噪声控制方法，提高介观电路的稳定性和可靠性。

4.4 介观电路研究的技术路线总结

为了更清晰地展示介观电路研究的过程，以下是一个 mermaid 格式的流程图：

graph LR
    A[介观电路研究起点] --> B[选择研究对象]
    B --> C1[单个介观 LC 电路]
    B --> C2[互感耦合介观 LC 电路]
    C1 --> D1[确定广义坐标和动量]
    C2 --> D2[确定广义坐标和动量]
    D1 --> E1[推导拉格朗日函数和哈密顿量]
    D2 --> E2[推导拉格朗日函数和哈密顿量]
    E1 --> F1[进行数 - 相位量化]
    E2 --> F21[电荷 - 磁通量量化方案]
    E2 --> F22[粒子数 - 相位量化方案]
    F1 --> G1[分析电磁特性和量子噪声]
    F21 --> G21[构造幺正算子解除纠缠]
    F22 --> G22[确定规范量化条件]
    G21 --> H21[计算特征振荡频率]
    G21 --> I21[研究量子噪声]
    G22 --> H22[推导电荷数和相位差算子时间演化]
    G1 --> J[总结研究成果]
    H21 --> J
    I21 --> J
    H22 --> J
    J --> K[为量子技术应用提供支持]

4.5 介观电路研究关键步骤表格总结

研究对象	关键步骤	具体内容
单个介观 LC 电路	确定广义坐标和动量	将电容器极板电荷量 q 视为广义坐标，q = en，得到动能和势能表达式，进而确定拉格朗日函数和正则动量
	数 - 相位量化	得到标准量化条件 ([\hat{n}, \hat{\theta}] = i) 和不确定关系 (\Delta\hat{n}\Delta\hat{\theta} \geq \frac{1}{2})，推导哈密顿算子
	分析特性	发现电磁共振特性，得到标准解 (\hat{n} = \hat{n} (t = 0) e^{it/\sqrt{LC}})
互感耦合介观 LC 电路 - 电荷 - 磁通量量化方案	确定广义坐标和动量	选择 (q_1) 和 (q_2) 为广义坐标，得到拉格朗日函数和广义动量，进而得到哈密顿量
	构造幺正算子	在坐标态表示中构造幺正算子 (\hat{U}) 解除哈密顿算子纠缠
	计算特征频率	得到特征振荡频率 (\omega_{\pm}^2 = \frac{c_2l_2 + c_1l_1 \pm \sqrt{\Delta}}{2c_2c_1(l_1l_2 - m)})
	研究量子噪声	使用 IWOP 方法研究电路在压缩真空态下的量子噪声，发现互感系数 m 与量子噪声关系
互感耦合介观 LC 电路 - 粒子数 - 相位量化方案	确定广义坐标和动量	将电荷数 (n_i) 视为广义坐标，得到动能、势能和拉格朗日函数，确定广义动量
	确定规范量化条件	得到 ([\hat{n} i, \hbar\hat{\theta}_j] = i\hbar\delta {ij}) 和电荷数与磁通量算子对易关系
	推导时间演化	推导电荷数算子和相位差算子的时间演化，表明与电路参数有关

通过以上总结和分析，我们对介观电路的量子理论有了更全面的认识，也为未来的研究和应用提供了清晰的方向。希望这些研究成果能够推动量子技术的不断发展，为科技进步做出贡献。