数理逻辑4 -- 公理化集合论12

有限集

我们说，一个类$X$是有限的（Finite），当且仅当，它能与某个$\omega$中的序数等势。即，

定义4.12.1：
a. $Fin(X)$：是$(\exists \alpha)(\alpha \in \omega \land X \cong \alpha)$的缩写。

以下结论是显然的。
引理4.12.1：
a. $\vdash Fin(X) \Rightarrow M(X)$，有限类是集合。
b. $\vdash (\forall \alpha)(\alpha \in \omega \Rightarrow Fin(\alpha))$，任意有限序数都是有限的。
c. $\vdash Fin(X) \land X \cong Y \Rightarrow Fin(Y)$

以下命题从等势的角度给出了关于有限序数的性质。
命题4.26：
a. $\vdash (\forall \alpha)(\alpha \notin \omega \Rightarrow \alpha \cong \alpha')$
b. $\vdash (\forall \alpha)(\forall \beta)(\alpha \in \omega \land \alpha \neq \beta \Rightarrow \neg(\alpha \cong \beta))$，任意有限序数都不与其它序数等实。
c. $\vdash (\forall \alpha)(\forall x)(\alpha \in \omega \land x \subset \alpha) \Rightarrow \neg(\alpha \cong x)$，任意有限序数都不和自己的真子集等势。

证明：
a. 首先，注意到$\omega$也是一个序数（由引理4.7.1的$\vdash Lim(\omega)$）。然后，注意到任意两个序数必有一个顺序（由命题4.8d）。所以，若$\alpha \notin \omega$，则$\omega \in \alpha \lor \omega = \alpha$。以下讨论假设$\omega \in \alpha$，但同理可证$\omega = \alpha$的情况。

既然$\omega \in \alpha$，根据序数的性质，可得$\omega \subseteq \alpha$。那么$\alpha' = \alpha \cup \{ \alpha \} = \omega \cup \alpha - \omega \cup \{ \alpha \}$。为了方便，我们分别记$\omega$为$D_1$，$\alpha-\omega$为$D_2$，$\{ \alpha \}$为$D_3$。

现在我们构造这么一个函数$f: \alpha' \rightarrow \alpha$，使得：若$\delta \in D_1$，则$f'\delta = \delta'$；若$\delta \in D_2$，则$f'\delta = \delta$；若$\delta \in D_3$，即$\delta = \alpha$，$f'\delta = \emptyset$。我们来证明$f$是从$\alpha'$到$\alpha$的一一映射函数。为此，我们需证明三点：(1) $f$的值域是$\alpha$的子集；(2)$f$的值域等于$\alpha$，即$\alpha$中每个成员都能在$\alpha'$中找到原像；(3) 对于任意$\delta_1, \delta_2 \in \alpha'$，并且$\delta_1 \neq \delta_2$，都有$f'\delta_1 \neq f'\delta_2$。

(1) $f$的值域是$\alpha$的子集。注意到，$\alpha \in \omega \Leftrightarrow \alpha' \in \omega)$（命题4.11a）。因此，若$\delta \in D_1$，则$f'\delta = \delta' \in \omega \subseteq \alpha$；若$\delta \in D_2$，则$f'\delta = \delta \in D_2 = \alpha - \omega \subseteq \alpha$；若$\delta \in D_3$，则$f'\delta = \emptyset \in \omega \subseteq \alpha$。

(2) $f$的值域是$\alpha$，即$\alpha$中每个成员都能在$\alpha'$中找到原像。若$\beta = \emptyset$，则显然能找到原像，即$f'\alpha = \emptyset$；若$\beta \in \omega \land \beta \neq \emptyset$，则存在某个序数$\delta$使得$\beta = \delta'$，根据命题4.11a，可知$\beta \in \omega \Leftrightarrow \delta \in \omega$，所以$\beta$的原像就是$\delta$，即$f'\delta = \beta \land \delta \in \alpha'$；若$\beta \in \alpha - \omega$，则$\beta$的原像就是$\beta$自己。

(3) 对于任意$\delta_1, \delta_2 \in \alpha'$，并且$\delta_1 \neq \delta_2$，都有$f'\delta_1 \neq f'\delta_2$。这里要考虑5中情况，

(3.1) $\delta_1 \in D_1, \delta_2 \in D_1$。根据命题4.10c，可得$\delta_1' \neq \delta_2'$。
(3.2) $\delta_1 \in D_2, \delta_2 \in D_2$。显然，$\delta_1 = f'\delta_1 \neq f'\delta_2 = \delta_2$。
(3.3) δ1